【摘 要】 應(yīng)用數(shù)學(xué)的教學(xué)一直是經(jīng)濟(jì)類專業(yè)教學(xué)安排的重點(diǎn)。本文提出將數(shù)學(xué)模型引入到經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)教材和教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)過程中加強(qiáng)對學(xué)生建模能力的培養(yǎng), 注意推廣最優(yōu)化理論和方法的教學(xué), 并就經(jīng)濟(jì)類專業(yè)應(yīng)用數(shù)學(xué)課程的教學(xué)實(shí)踐提出應(yīng)注意的幾個方面。

【關(guān)鍵詞】 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)建模 教學(xué)實(shí)踐

近幾十年來, 隨著社會的不斷進(jìn)步和科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展, 數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍在不斷地擴(kuò)大, 早已突破了傳統(tǒng)的范圍,擴(kuò)展到包括生物、化學(xué)、醫(yī)學(xué)等極其廣泛的領(lǐng)域。特別是在經(jīng)濟(jì)、管理領(lǐng)域,存在著大量的數(shù)學(xué)定量和最優(yōu)化問題, 亟待研究與開發(fā)。

經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)的教學(xué)現(xiàn)狀

經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)課程是經(jīng)濟(jì)管理類統(tǒng)設(shè)必修課, 包括微積分、線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程。傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課程無疑在打好學(xué)生的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力以及為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)等方面起到相當(dāng)大的作用。然而它的局限性也逐漸明顯。現(xiàn)行經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課程存在的主要問題有：

在教學(xué)內(nèi)容上, 傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教材僅僅是數(shù)學(xué)專業(yè)教材的簡寫本, 部分教材更像一本題解。傳統(tǒng)的教學(xué)和教材內(nèi)容過分強(qiáng)調(diào)細(xì)節(jié)而將現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)中所需要的豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容排除在外。現(xiàn)在的經(jīng)濟(jì)、管理中的問題很多是不確定的優(yōu)化問題。但是大量的學(xué)時花費(fèi)在計算、解題技巧等一些細(xì)節(jié)上, 以至于微積分和線性代數(shù)中有部分知識點(diǎn)沒有時間講, 使概率統(tǒng)計的學(xué)時被壓縮, 導(dǎo)致了經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容與經(jīng)濟(jì)、管理學(xué)科的需要知識嚴(yán)重脫節(jié)。

在教學(xué)方法上, 傳統(tǒng)的教學(xué)方法過于注重教師的作用, 以教師為中心的注入式、保姆式的教學(xué)方法占主導(dǎo)地位。體現(xiàn)在過于注重概念、定理的推導(dǎo)和證明、計算以及解題的技巧, 過分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)密性, 使學(xué)生覺得數(shù)學(xué)相當(dāng)抽象, 從而對數(shù)學(xué)問題望而卻步, 使數(shù)學(xué)遠(yuǎn)離我們的世界, 遠(yuǎn)離我們的日常生活。課堂教學(xué)中師生缺乏互動, 課堂常常是老師的“一言堂” 。學(xué)生完全是被動的學(xué)習(xí), 長此以往, 不但無法使學(xué)生真正掌握所學(xué)的知識, 而且會助長學(xué)生的依賴心理, 養(yǎng)成思想懶惰的習(xí)慣, 嚴(yán)重妨礙學(xué)生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的培養(yǎng), 更不要說將所學(xué)的知識運(yùn)用到具體實(shí)踐中去。在教學(xué)手段上數(shù)學(xué)的教學(xué)仍主要停留在粉筆加黑板的傳統(tǒng)方式上, 這種方式在數(shù)學(xué)教學(xué)上雖然是必要的, 但是也有很大的弊病。如效率低下, 圖形既不準(zhǔn)確, 也缺乏動態(tài)效果等等。這就需要對傳統(tǒng)的教學(xué)方式進(jìn)行改革, 將現(xiàn)代化的技術(shù)手段引人到教學(xué)實(shí)踐中。

在應(yīng)用上, 數(shù)學(xué)的應(yīng)用停留在古典幾何和物理上, 忽視數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)、管理中的運(yùn)用, 導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)沒有用, 主動應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識淡薄, 不利于培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力, 且不能滿足后續(xù)專業(yè)課的需要。此外由于缺乏實(shí)踐的機(jī)會, 使得理論和實(shí)踐嚴(yán)重脫節(jié)。這導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)無用論的觀點(diǎn), 甚至有部分學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)得還不錯, 可是遇到實(shí)際問題就不知道怎么解決[2]。

國內(nèi)外數(shù)學(xué)教學(xué)改革的趨勢, 越來越注重數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。因此在教學(xué)中應(yīng)注意將數(shù)學(xué)理論與經(jīng)濟(jì)問題相結(jié)合,加強(qiáng)應(yīng)用能力的培養(yǎng),把經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型滲透到經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)課程中。通過數(shù)學(xué)模型可以提高學(xué)生的實(shí)際操作能力和理解力, 通過教師的教和自己的實(shí)踐達(dá)到百聞不如一練的效果。

如何加強(qiáng)對經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)模型建模能力的培養(yǎng)

把數(shù)學(xué)與客觀實(shí)際問題聯(lián)系起來的紐帶首先是數(shù)學(xué)建模, 一個好的數(shù)學(xué)模型往往要通過創(chuàng)造性的思維和大膽探索才能建立和改進(jìn)。因此, 數(shù)學(xué)建模的基本知識已成為經(jīng)濟(jì)管理人員所必備的基礎(chǔ)知識,而專業(yè)的應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者和經(jīng)濟(jì)理論研究者更需要具有熟練的數(shù)學(xué)技巧和豐富的想象力。

經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的兩大應(yīng)用方向?yàn)榻?jīng)濟(jì)理論研究和實(shí)際經(jīng)濟(jì)管理的需要。我國對經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的研究,開始于20 世紀(jì)60 年代初, 但長期以來一直沒有很大的進(jìn)展, 這與從事數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)研究和應(yīng)用的工作者向經(jīng)濟(jì)理論工作者普及經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)方法和模型不夠有關(guān)[1]。近年來, 隨著社會主義市場經(jīng)濟(jì)體制的建立和不斷完善, 數(shù)學(xué)模型( Mathematical Model ) 在經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域的應(yīng)用迅速發(fā)展, 社會經(jīng)濟(jì)建設(shè)過程中對專門人才的需求也日益擴(kuò)大。因此, 高等院校在擔(dān)負(fù)培養(yǎng)相關(guān)人才的同時更應(yīng)加強(qiáng)這方面的理論研究。經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域常用的數(shù)學(xué)模型有投入產(chǎn)出模型、經(jīng)濟(jì)計量模型、回歸模型、時間序列模型、線性規(guī)劃模型、系統(tǒng)動態(tài)模型和狀態(tài)空間模型等等, 每一種模型都有自己的優(yōu)點(diǎn)和局限性, 綜合運(yùn)用可使它們?nèi)￠L補(bǔ)短、相得益彰。在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域里, 應(yīng)用最為廣泛的模型是運(yùn)籌學(xué)模型(Models of Operations Research) , 簡稱ORM, 常見的有運(yùn)輸模型、分配模型、網(wǎng)絡(luò)模型、存貯模型、排隊(duì)模型、可靠性模型、對策模型、動態(tài)規(guī)劃模型、最優(yōu)控制模型等, 每一種具體模型就是運(yùn)籌學(xué)的一個分支。這類模型的一般形式通常為

其中x = (x1, x2 , .., xn 是由一組決策變量x1, x2 , .., xn 構(gòu)成的n維向量;f1(x),f2(x), .. ,fp(x)是目標(biāo)函數(shù); g1(x),g2(x), .. , gm(x)是約束函數(shù)。

培養(yǎng)建立數(shù)學(xué)模型的能力是十分重要的, 這其中主要應(yīng)注意培養(yǎng)以下幾個方面的能力:

1) 理解實(shí)際問題的能力, 包括有廣博的知識面, 搜集信息、資料和數(shù)據(jù)能力等;

2) 抽象分析問題的能力, 包括抓住主要矛盾, 選擇設(shè)計變量, 進(jìn)行歸納、聯(lián)想、類比等創(chuàng)造能力;

3) 運(yùn)用工具知識的能力, 包括自然科學(xué)、工程技術(shù)、計算機(jī), 特別是數(shù)學(xué)知識等能力;

4) 試驗(yàn)調(diào)試能力, 包括反復(fù)修改等動手能力。

構(gòu)造經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)模型, 一般要以經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù), 因?yàn)闆]有經(jīng)濟(jì)理論的指導(dǎo), 我們很難從國民經(jīng)濟(jì)各部門浩瀚的數(shù)據(jù)中找出彼此關(guān)聯(lián)的變量, 也難以構(gòu)造出反映現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。同樣, 即使在目前大多數(shù)經(jīng)濟(jì)工作者已經(jīng)具備了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的時代, 在約束條件下求最優(yōu)所使用的技術(shù), 也還是被認(rèn)為有一定深度的, 特別是在包含時間的決策問題上更是如此, 因?yàn)樵谀硶r刻的選擇將會影響以后可采用的選擇。實(shí)際上, 完全可能從一開始就把數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)聯(lián)系起來, 并且以一種容易處理的步驟搞清數(shù)學(xué)模型的建立過程和方法。在具體實(shí)踐中建模的應(yīng)用步驟是: 模型的制訂; 模型參數(shù)的估計;模型的檢驗(yàn); 模型的應(yīng)用( 經(jīng)濟(jì)預(yù)測) 。在構(gòu)建實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題的數(shù)學(xué)模型中, 特別是涉及實(shí)證分析的, 要大量采用有限數(shù)學(xué)的方法, 尤其是矩陣、矩陣代數(shù)與差分方程, 因?yàn)檫@些明顯地與大部分實(shí)證研究基礎(chǔ)的離散觀測資料相吻合。目前西方發(fā)達(dá)國家致力于大規(guī)模的各類模型的研究, 例如, 美國的& 連接計劃(LinkProject )。采用的數(shù)學(xué)模型包括了18 個國家、7447 個方程和3368 個外生變量, 用來進(jìn)行經(jīng)濟(jì)預(yù)測和政策模擬的多國合作的研究活動[2]。因此, 在培養(yǎng)學(xué)生建模能力的過程中, 首先要求他們在學(xué)習(xí)自然科學(xué)和社會科學(xué)等有關(guān)分支的知識的同時, 特別要加強(qiáng)對經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí), 掌握它們的法則、規(guī)律和公式等, 這樣才能有助于提高建模的實(shí)際工作能力; 其次在學(xué)習(xí)各門課程時, 要多做應(yīng)用題, 這對提高分析問題能力和運(yùn)用各種知識解決問題能力是不可缺少的基本訓(xùn)練; 第三要多接觸實(shí)際問題, 有時還要深入工廠企業(yè)、公司等實(shí)際部門, 培養(yǎng)調(diào)查和提出問題的能力。

大力推廣最優(yōu)化理論和方法的教學(xué)

最優(yōu)化( Optimization ) , 即在復(fù)雜環(huán)境中遇到的許多可能的決策中, 選擇依據(jù)某種指標(biāo)的最好決策的科學(xué)。在20 世紀(jì)30 年代末, 由于軍事和工業(yè)生產(chǎn)發(fā)展的需要, 提出了一些不能用古典微分法和變分法解決的問題, 在許多學(xué)者的努力下, 逐漸產(chǎn)生、發(fā)展和形成了一些新的方法; 20 世紀(jì)50 年代后, 隨著計算機(jī)的發(fā)展和經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)的需要, 進(jìn)一步形成了最優(yōu)化理論以及相應(yīng)的求解方法—— 最優(yōu)化方法。目前這些理論和方法已在生產(chǎn)管理、系統(tǒng)控制、工程設(shè)計、經(jīng)濟(jì)規(guī) 劃等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[3]。

數(shù)學(xué)規(guī)劃( Mathematical Programming ) 是最優(yōu)化理論的一個重要分支, 它是指n 個變量對單目標(biāo)( 或多目標(biāo)) 函數(shù)求極值, 而這些變量也可能受到某些條件的限制, 其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

這里f(x)為目標(biāo)函數(shù)(objective function) , ci(x) = 0, i ∈ E 及ci(x) ≤ 0, i ∈I 為約束條件( constraint condition ) 。若在此表達(dá)式中f(x) 、ci(x)均為線性函數(shù), 則所得規(guī)劃為線性規(guī)劃(Linear Programming), 否則為非線性規(guī)劃[4]。

在經(jīng)濟(jì)學(xué)分析中, 最優(yōu)化是一個重要的主題。因此, 尋找無約束和有約束極值的古典微積分方法和數(shù)學(xué)規(guī)劃的近期技術(shù)在構(gòu)造、處理經(jīng)濟(jì)模型中占據(jù)著重要的位置?？茖W(xué)技術(shù)和生產(chǎn)的不斷發(fā)展使得人們越來越重視一些大系統(tǒng)的最優(yōu)化技術(shù), 各種大型的社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、企業(yè)管理系統(tǒng)等的運(yùn)行管理和控制都是大系統(tǒng)優(yōu)化問題的典型例子。由于大系統(tǒng)性能的一些很小的改善都會帶來巨大的收益, 因此, 研究大系統(tǒng)優(yōu)化問題是非常有實(shí)用價值的。所以, 在解決實(shí)際問題時, 不僅要建立科學(xué)合理的數(shù)學(xué)模型, 還要掌握運(yùn)用先進(jìn)的計算機(jī)技術(shù)進(jìn)行信息加工和數(shù)據(jù)處理。

教師在教案準(zhǔn)備和教學(xué)組織時, 應(yīng)側(cè)重搜集和講解經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域最優(yōu)化理論及方法運(yùn)用的實(shí)例, 通過對這些實(shí)例的分析和講解, 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣, 使他們學(xué)會運(yùn)用最優(yōu)化的思想和方法分析處理問題。

經(jīng)濟(jì)類專業(yè)應(yīng)用數(shù)學(xué)的教學(xué)需注意的幾個問題

目前在各高等院校經(jīng)濟(jì)類專業(yè)開設(shè)的應(yīng)用數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中, 普遍加強(qiáng)了對學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)方法和手段分析問題、解決問題的能力培訓(xùn)。通常在經(jīng)濟(jì)類專業(yè)開設(shè)的應(yīng)用數(shù)學(xué)課程主要有: 微積分、線性代數(shù)、概率論和數(shù)理統(tǒng)計、線性規(guī)劃和運(yùn)籌學(xué)等, 在這些課程的具體教學(xué)組織中, 應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn):

1. 教學(xué)內(nèi)容要符合基本要求

2006 年教育部數(shù)學(xué)與統(tǒng)計教學(xué)指導(dǎo)委員, 組織專家討論制訂了經(jīng)濟(jì)管理類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求。我們要按照要求, 設(shè)計教學(xué)內(nèi)容。

2. 因材施教, 把握好內(nèi)容的難易程度

因材施教, 就是考慮到我們地方高校生源特點(diǎn),講授數(shù)學(xué)概念、理論與方法盡量使學(xué)生易于接受, 在講授重要概念時盡量選用經(jīng)典的例子。還要注意到盡量結(jié)合專業(yè)配置例題和習(xí)題, 但避免強(qiáng)拉硬套和專業(yè)性過強(qiáng)的例子, 配置的例題應(yīng)難易適度。老師講課中過多選擇歷年考研真題會喧賓奪主, 影響學(xué)生對新的概念和方法的學(xué)習(xí)。

3.傳授知識的同時, 融入數(shù)學(xué)思想方法

這種教學(xué)理念李大潛院士曾給予充分肯定?，F(xiàn)在社會科學(xué)中使用數(shù)學(xué)已經(jīng)被廣泛接受了, 特別是在經(jīng)濟(jì)學(xué)方面。其次, 社會科學(xué)的主題, 關(guān)于復(fù)雜系統(tǒng)的理論是用文字表達(dá)的, 而它們的分析與比較用數(shù)學(xué)形式來表示會有很大的幫助。第三, 對于一些社會科學(xué)主題中比較模糊、甚至很難得到確切信息的概念, 數(shù)學(xué)可以提供一種領(lǐng)會的手段。

利用數(shù)學(xué)已經(jīng)建立起來的一系列公式和定理, 特別是利用描述復(fù)雜事物之間關(guān)系的多元微積分和矩陣代數(shù)以及抽象空間的概念來研究經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象, 確實(shí)給我們帶來了極大的方便。尤其是貫穿在整個數(shù)學(xué)中的精確而客觀的思考方法, 使得對經(jīng)濟(jì)問題的認(rèn)識不再模棱兩可。經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)化的重要標(biāo)志, 是它不限于僅僅應(yīng)用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)工具, 而是與數(shù)學(xué)融為一體, 同步發(fā)展。例如, 線性規(guī)劃的出現(xiàn)誰也說不清這是數(shù)學(xué)的突破還是經(jīng)濟(jì)學(xué)的突破[5]。隨著我國社會主義市場經(jīng)濟(jì)體制的建立和成功加入世界貿(mào)易組織, 數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用范圍必將越來越廣泛。這就給從事高等院校相關(guān)專業(yè)應(yīng)用數(shù)學(xué)教學(xué)的教師提出了新的要求, 必須扎扎實(shí)實(shí)地深化教學(xué)改革, 才能培養(yǎng)全面適應(yīng)新世紀(jì)社會主義現(xiàn)代化建設(shè)的各級各類人才。

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