[摘 要]文章基于知識(shí)本體，將“變式教學(xué)”的教學(xué)模式應(yīng)用在了抽象的高等代數(shù)教學(xué)活動(dòng)中，結(jié)合幾個(gè)典型的教學(xué)案例闡述了概念性變式教學(xué)和過(guò)程性變式教學(xué)運(yùn)用在本課程中的合理性、可行性、高效性以及對(duì)培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要性。

[關(guān)鍵詞]知識(shí)本體 高等代數(shù) 變式教學(xué) 教學(xué)模式 教學(xué)案例

基金項(xiàng)目：陜西省高等教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（11BY65），陜西省教育科學(xué)研究“十二五”規(guī)劃項(xiàng)目（SGH12354）。

高等代數(shù)課程在數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)課程中隸屬純粹數(shù)學(xué)的分支，其建立起來(lái)的代數(shù)系統(tǒng)是很完善的、應(yīng)用廣泛的，但把握起來(lái)卻是難以理解和非常抽象的。如何將這樣一個(gè)抽象的理論呈現(xiàn)給學(xué)生，使學(xué)生能夠較容易地接受以達(dá)到學(xué)習(xí)的高效性？筆者通過(guò)近十年的教學(xué)研究，提出了基于知識(shí)本體的“變式教學(xué)”的教學(xué)模式，這種模式大大提高了高等代數(shù)課程的學(xué)習(xí)效率，是一種值得推薦的教學(xué)模式。

所謂“變式教學(xué)”，是指以培養(yǎng)學(xué)生靈活轉(zhuǎn)換、獨(dú)立思考能力為目的，在教學(xué)過(guò)程中教師精心設(shè)計(jì)一些不斷變更問(wèn)題情境或者改變思維角度，由簡(jiǎn)到繁，由易到難的數(shù)學(xué)問(wèn)題，使事物的非本質(zhì)特征時(shí)隱時(shí)現(xiàn)，而事物的本質(zhì)特征卻始終保持不變的教學(xué)模式[1]。這樣模式在變換知識(shí)表征的同時(shí)鍛煉學(xué)生的思維能力，如果說(shuō)“數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操”，那么數(shù)學(xué)教師就是引領(lǐng)學(xué)生做體操的人。數(shù)學(xué)課堂的創(chuàng)新教學(xué)即變式教學(xué)在培養(yǎng)、操練學(xué)生的創(chuàng)新能力方面起著決定性作用。但我們必須把握一個(gè)原則，那就是目標(biāo)導(dǎo)向應(yīng)放在第一位，“在明確了實(shí)際教學(xué)目的的前提下，我們才能明確哪些是知識(shí)內(nèi)容的本質(zhì)特征，哪些是非本質(zhì)特征，從而明確什么可以變，什么不可以變”[2]。

變式教學(xué)的研究背景

通過(guò)中美數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的比較研究，馬立平（Ma,1999)發(fā)現(xiàn)，中國(guó)教師強(qiáng)調(diào)對(duì)概念進(jìn)行多角度理解，而美國(guó)教師則比較重視操作過(guò)程。在教學(xué)中注意提倡多種不同的算法和多種不同理解，被認(rèn)為是“中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要特征”；同時(shí)中國(guó)的教學(xué)模式呈現(xiàn)一種有層次的推進(jìn)教學(xué)模式，彭恩霖（Paine,1990)根據(jù)她1986年-1987年對(duì)中國(guó)教學(xué)的實(shí)地研究，把中國(guó)教學(xué)法描述為“鑒賞家”模式。這一模式的特征是，課堂在教師言語(yǔ)控制下由淺入深逐層推進(jìn)。她認(rèn)為中國(guó)課堂教學(xué)用清晰優(yōu)美的語(yǔ)言把知識(shí)由淺入深地傳授給學(xué)生，這一過(guò)程的展開(kāi)包含著藝術(shù)的成分；另外通過(guò)對(duì)東西方數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的比較研究我們發(fā)現(xiàn)中國(guó)的教學(xué)一直都在尋找不同的問(wèn)題解決途徑，上世紀(jì)80年代，密歇根大學(xué)斯蒂文森（Stevenson)領(lǐng)導(dǎo)的研究小組對(duì)中、日、美三國(guó)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行了一系列比較研究。發(fā)現(xiàn)來(lái)自日本、中國(guó)大陸和中國(guó)臺(tái)灣的學(xué)生數(shù)學(xué)能力遠(yuǎn)高于美國(guó)學(xué)生。這些研究是基于對(duì)800節(jié)小學(xué)數(shù)學(xué)課的課堂觀察，采用系統(tǒng)時(shí)間抽樣和敘事觀察的方法。有以下結(jié)論：（1）在東亞課堂中，同一數(shù)學(xué)概念用不同方法表征的實(shí)踐普遍比美國(guó)課堂多；（2）中日兩國(guó)教師通常會(huì)在一個(gè)抽象概念之后提供一些具體操作的鞏固練習(xí)，美國(guó)教師則較少這么做；（3）學(xué)生數(shù)學(xué)思考的質(zhì)量依賴(lài)于學(xué)生對(duì)問(wèn)題的反應(yīng)和教師如何提出問(wèn)題兩個(gè)方面。與東亞相比，美國(guó)教師不太會(huì)采用什么技巧去激發(fā)學(xué)生的建設(shè)性思考和對(duì)數(shù)學(xué)的概念性理解。

高等代數(shù)課堂中的變式教學(xué)

基于以上變式教學(xué)研究的背景，我們清楚地看到變式教學(xué)作為一種傳統(tǒng)和經(jīng)典的中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)方式在中國(guó)由來(lái)已久，外國(guó)學(xué)者的變異理論和腳手架理論為中國(guó)的變式教學(xué)理論提供了認(rèn)識(shí)論基礎(chǔ)和理論支撐，這種教學(xué)是提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)的有效途徑，對(duì)它的理解將有助于對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)理解。如何理解變式，如何劃分變式教學(xué)的類(lèi)型，在很大程度上影響我們對(duì)它的理解，顧泠沅對(duì)變式教學(xué)進(jìn)行了系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)研究，提出了“概念性變式”和“過(guò)程性變式”兩個(gè)核心概念，基于數(shù)學(xué)概念的存在形態(tài)和數(shù)學(xué)概念的結(jié)構(gòu)特征兩方面的考慮在高等代數(shù)的教學(xué)中運(yùn)用變式教學(xué)的 “概念性—過(guò)程性”兩維度分類(lèi)模式。

1.概念性變式教學(xué)

高等代數(shù)的教學(xué)中對(duì)各類(lèi)問(wèn)題的研究總是先給出確切的定義，然后從定義出發(fā)，利用嚴(yán)密的邏輯推理方法，依次推出性質(zhì)、定理、推論等，從而建立各類(lèi)問(wèn)題的一套完整的理論體系，這是邏輯推理的嚴(yán)密性的一個(gè)具體體現(xiàn)。從這里不難看出，透徹地理解定義對(duì)于整章內(nèi)容把握的重要性。例如：在行列式一章的講解中，n階行列式的定義是這一章的難點(diǎn)和重點(diǎn)，概念本身很抽象，我們采取概念性變式的教學(xué)方法，對(duì)概念從多角度讓學(xué)生理解，用不完全歸納法讓學(xué)生從二階和三階行列中觀察總結(jié)出一下三個(gè)問(wèn)題：（1）n階行列式有幾項(xiàng)在做代數(shù)和？（2）n階行列式每一項(xiàng)取幾個(gè)元素，這些元素都是如何取出來(lái)的？（3）每一項(xiàng)前的符合如何確定？通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法學(xué)生很快能對(duì)這三個(gè)問(wèn)題作出正確回答，我們通過(guò)改變概念的表征方式，改變概念的外延卻不改變概念的本質(zhì)的方法很快解決了困擾學(xué)生的n階行列式的概念問(wèn)題。

通過(guò)使用“概念性變式”，學(xué)生可以多角度地理解概念，從具體到抽象，從特殊到一般，通過(guò)排除背景干擾突出概念的本質(zhì)屬性，闡明概念的內(nèi)涵。這樣，通過(guò)概念性變式教學(xué)，幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)和建立本質(zhì)的聯(lián)系，達(dá)到了高效學(xué)習(xí)的目的。

2.過(guò)程性變式教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)包括兩種類(lèi)型的活動(dòng)：一是教陳述性知識(shí)（即概念），二是教程序性知識(shí)（即過(guò)程）。由于程序性知識(shí)（問(wèn)題解決和元認(rèn)知策略）是動(dòng)態(tài)的，采取靜止的概念性變式不能促進(jìn)其學(xué)習(xí)過(guò)程。數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的基本特征是層次性，它包含為解決問(wèn)題而采取的一系列不同步驟和策略。采取過(guò)程性變式，學(xué)生能夠解決問(wèn)題，并形成不同概念之間的層次關(guān)系或獲得多種方法。例如：在講到矩陣的可逆時(shí)，我們的《高等代數(shù)》教材[3]中并沒(méi)有按照知識(shí)的形成過(guò)程和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律來(lái)講解，為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的層次性，同時(shí)為了讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)的形成過(guò)程，我們采用了過(guò)程性變式的教學(xué)方法分為三個(gè)步驟來(lái)講解這部分內(nèi)容：第一步矩陣可逆的定義和性質(zhì)講完后，學(xué)生在感知單位矩陣都是可逆的同時(shí)知道不是所有的方陣都可逆，那么自然要問(wèn)什么樣的方陣是可逆的？這就順理成章地想到第二步矩陣可逆的判定了，當(dāng)知道了什么樣的矩陣可逆時(shí)顯然想知道如何求出可逆矩陣了，這就是第三步矩陣可逆的求法了。相對(duì)于課本內(nèi)容我們添加了4條矩陣可逆的判定定理[4]后才講到了具體的求法，這樣符合學(xué)生的認(rèn)知心理。另外為了使學(xué)生建立良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，我們?cè)诮滩牡陌才派弦策M(jìn)行了調(diào)整，在課本線(xiàn)性代數(shù)板塊的教學(xué)中，將矩陣這一章節(jié)放在了線(xiàn)性方程組的前面，充分體現(xiàn)借助于行列式和矩陣兩個(gè)工具來(lái)解決線(xiàn)性方程組的思想。

通過(guò)使用“過(guò)程性變式”，學(xué)生可以理解知識(shí)的起源以及用什么方法和在什么地方運(yùn)用它們。這樣可建立良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。通過(guò)使用這種變式，幫助學(xué)生形成概念，解決問(wèn)題，構(gòu)建一個(gè)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)，進(jìn)一步可以幫助學(xué)生理解知識(shí)的不同組成部分和完善知識(shí)結(jié)構(gòu)。

高等代數(shù)課堂中的變式教學(xué)反思

通過(guò)研究我們得出，變式教學(xué)有一定的規(guī)律可循，目標(biāo)導(dǎo)向應(yīng)該放在第一位，明確在課堂中必須尊重知識(shí)本身從基礎(chǔ)問(wèn)題出發(fā)，遵循一定的方法通過(guò)正確的思維方式把概念和過(guò)程進(jìn)行變式，變中求解，解中求變，最終還原問(wèn)題本質(zhì)，這在很大程度上提高了學(xué)習(xí)效率，是一種高效的學(xué)習(xí)模式。但是通過(guò)教學(xué)我們發(fā)現(xiàn)仍存在一些問(wèn)題需要改進(jìn)，例如教材中練習(xí)題的安排往往是一例一練的，屬于基本練習(xí)，學(xué)生往往受思維定勢(shì)的影響，練習(xí)時(shí)模仿例題，思維水平得不到提高，而且教材中的練習(xí)往往是靜態(tài)的，與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系得很少，學(xué)生往往不知道知識(shí)該如何應(yīng)用，這就需要我們教師不斷地鉆研教材，挖掘教材中開(kāi)放性因素，設(shè)計(jì)變式練習(xí)。我們計(jì)劃在接下來(lái)的研究中從知識(shí)本身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)出發(fā)，設(shè)計(jì)變式練習(xí)，以求通過(guò)練習(xí)加強(qiáng)知識(shí)之間的相互聯(lián)系，體現(xiàn)知識(shí)的系統(tǒng)性和結(jié)構(gòu)性，這樣有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行靈活的遷移，有利于完善學(xué)生的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)和促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解和掌握。

參考文獻(xiàn)：

[1]張玉成.創(chuàng)造性能量培養(yǎng)與數(shù)學(xué)教學(xué)模式改革[J].深圳教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1999(01).

[2]戚紹斌.略談變式教學(xué)的若干原則[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，1996(01).

[3]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1987.

[3]張禾瑞，郝炳新. 高等代數(shù)（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社，1999.