本文敘述的是應(yīng)用了動(dòng)能定理而達(dá)到了事半功倍效益的案例，以增強(qiáng)師生應(yīng)用動(dòng)能定理解題的主動(dòng)意識(shí)。

一、動(dòng)能定理求路程

例如一個(gè)質(zhì)量為m，電量為負(fù)q的小物體，可在水平絕緣x軸軌道上運(yùn)動(dòng)， x軸向右為正方向，左端o有一與軌道垂直的絕緣墻固定，軌道處在場(chǎng)強(qiáng)大小為E，方向沿ox軸正向的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，小物體以初速度V從a點(diǎn)沿ox軸軌道運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)中受大小不變的摩擦力F作用，且小物體受到的摩擦力小于受到的電場(chǎng)力。小物體與墻碰撞不損失機(jī)械能，求它在停止前所通過(guò)的路程。

首先要認(rèn)真分析小物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，建立物理圖景。開始時(shí)，設(shè)小物體從a點(diǎn)以V向右運(yùn)動(dòng)，它受到四個(gè)力的作用，除重力和支持力平衡外，還有向左的電場(chǎng)力和摩擦力，因此小物體向右做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，直到速度為零。而后，小物體受到向左的電場(chǎng)力和向右的摩擦力作用，因?yàn)樾∥矬w受到的摩擦力小于受到的電場(chǎng)力，合力向左，小物體做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，直到以一定的速度與墻碰撞，碰后小物體的速度與碰前速度大小相等，方向相反，然后小物體將多次重復(fù)以上過(guò)程。

由于摩擦力做功與路程有關(guān)，當(dāng)摩擦力大小一定時(shí)，摩擦力的功與路程成正比即等于摩擦力大小與路程的乘積，且總是做負(fù)功，因而小物體動(dòng)能與電勢(shì)能的總量不斷損失，小物體通過(guò)同一位置時(shí)的速度將不斷減小。直到最后停止運(yùn)動(dòng)，小物體停止時(shí)，必須滿足兩個(gè)條件：速度為零和小物體所受的合力為零，小物體只有停在o點(diǎn)才能滿足以上條件。

電場(chǎng)力的功跟起點(diǎn)位置和終點(diǎn)位置有關(guān)，而跟路徑無(wú)關(guān)，所以整個(gè)過(guò)程中電場(chǎng)力做功為電量大小、電場(chǎng)強(qiáng)度大小與始末之間位移大小的乘積。小物體的初動(dòng)能為質(zhì)量與初速度平方的乘積的一半，末狀態(tài)靜止，末動(dòng)能為零。又根據(jù)動(dòng)能定理，合外力對(duì)小物體所做的功等于小物體動(dòng)能的改變，得：整個(gè)過(guò)程中電場(chǎng)力對(duì)小物體做的功加上摩擦力對(duì)小物體做的負(fù)功等于物體的末動(dòng)能零減去小物體的初動(dòng)能，這樣就很容易求出小物體在停止前所通過(guò)總路程。

若開始時(shí)，設(shè)物體向左運(yùn)動(dòng)，則水平方向受到向左的電場(chǎng)力和向右的摩擦力，因?yàn)樾∥矬w受到的摩擦力小于受到的電場(chǎng)力，合力向左，物體做初速度為V的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，綜上分析物體最終也停在o點(diǎn)?！皠?dòng)能”狀態(tài)量是標(biāo)量，無(wú)方向性無(wú)需注意初速度的方向，且動(dòng)能只涉及到始末的狀態(tài)，也無(wú)需考慮過(guò)程的變化，同樣可用動(dòng)能定理對(duì)運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程列式，特別簡(jiǎn)便實(shí)用。

此類問(wèn)題若用牛頓定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解決，則必須考慮初速度的方向，在整個(gè)過(guò)程中小物體向左運(yùn)動(dòng)和向右運(yùn)動(dòng)的合外力大小方向又均不相同，因而加速度也不相同，解決小物體的多次往復(fù)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的基本方法是分段計(jì)算其與o點(diǎn)不斷遞減的距離，尋找其變化規(guī)律，然后再用數(shù)學(xué)的求和定理求其總的路程，不但繁瑣、耗時(shí)，而且很容易出錯(cuò)。

二、動(dòng)能定理求變力的功

例如一人站在高為h的樓上，用手水平地將一質(zhì)量為m的物體拋出，如果拋出時(shí)的速率為a，落地時(shí)的速率為b，重力加速度為G，求⑴人對(duì)物體做的功；⑵物體在飛行過(guò)程中空氣阻力所做的功。

物體從靜止開始到脫手的過(guò)程中，人施于物體的力、物體運(yùn)動(dòng)的軌跡、位移都是未知的；脫手后，物體在空氣中運(yùn)動(dòng)，它受到的空氣阻力和運(yùn)動(dòng)軌跡也是未知的，顯然，由功等于力與力方向上通過(guò)的位移的乘積求解是不可能的，但用動(dòng)能定理來(lái)求變力的功只需從這段位移的始末兩狀態(tài)動(dòng)能變化去考察，無(wú)需注意其中運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的細(xì)節(jié)，又由于動(dòng)能是標(biāo)量，無(wú)方向性，無(wú)需考慮物體是直線運(yùn)動(dòng)還是曲線運(yùn)動(dòng)，計(jì)算特別方便。

物體從人手中拋出的過(guò)程，物體受到人手的力F和重力G的作用，F(xiàn)豎直分量與重力平衡，且它們的方向都與物體位移方向垂直，對(duì)物體不做功，只有F的水平分量對(duì)物體做了功。

根據(jù)動(dòng)能定理，人對(duì)物體所做的功等于物體質(zhì)量與初速度平方的乘積的一半；物體在空中運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，受到重力和空氣阻力作用，重力做功與路徑無(wú)關(guān)，只與沿重力方向的位移有關(guān)，即物體質(zhì)量、重力加速度常數(shù)、下落的高度三者的乘積。由動(dòng)能定理可知重力對(duì)物體做的功加上空氣阻力對(duì)物體做的功等于物體落地時(shí)的末動(dòng)能（物體質(zhì)量與落地時(shí)速度平方的乘積的一半）減去物體拋出時(shí)的初動(dòng)能（物體質(zhì)量與拋出時(shí)速度平方的乘積的一半），等式中只有空氣阻力對(duì)物體做的功是未知的，只要求出物體在飛行過(guò)程中空氣阻力所做的功就可以了，簡(jiǎn)便且不容易出錯(cuò)，用動(dòng)能定理何樂(lè)而不為呢？