勾股定理是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)問題，同時(shí)又是學(xué)生感覺比較困難的概念之一。在勾股定理這一章節(jié)的教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生明顯存在“先驗(yàn)知識”，而不能解決實(shí)際問題，在對定理的認(rèn)識與實(shí)際應(yīng)用上存在一定的距離。因此，選取勾股定理切入點(diǎn)，探究圖式理論在勾股定理學(xué)習(xí)中的影響及特征，期望能對勾股定理的教與學(xué)提供借鑒。

本實(shí)證研究隨機(jī)選取東臺市實(shí)驗(yàn)中學(xué)、普通中學(xué)以及農(nóng)村中學(xué)各一所，探究圖式理論在勾股定理概念的教與學(xué)中的影響。

一、勾股定理證明圖式的理論構(gòu)想

勾股定理包含兩個(gè)本質(zhì)屬性——前提條件“直角三角形”和結(jié)論“兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”。這其實(shí)是一個(gè)典型的證明圖式。勾股定理證明圖式的條件和結(jié)論之間以系統(tǒng)相互影響，這時(shí)所建構(gòu)的記憶痕跡是高度整合的結(jié)構(gòu)。關(guān)于勾股定理在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用以及勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用等都是這種圖式的具體化。

勾股定理證明圖式處于數(shù)學(xué)知識的網(wǎng)絡(luò)圖式之中，與其他圖式存在一定的聯(lián)系。僅以勾股定理的證明圖式、勾股定理在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用圖式、勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用圖式和一元二次方程圖式四者為例。（如圖）

圖中的線段表示某種關(guān)系。一個(gè)典型的實(shí)例：勾股定理的學(xué)習(xí)直接影響勾股定理在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，勾股定理在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用又直接影響勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用，同時(shí)一元二次方程圖式中的程序性知識大部分可以移植到勾股定理的圖式中。

二、勾股定理證明圖式的加工機(jī)制

1.勾股定理圖式的獲得。獲得勾股定理證明圖式可以通過圖式的形成和圖式的同化兩種形式。圖式的形成：學(xué)生要學(xué)習(xí)幾個(gè)勾股定理的例子，這幾個(gè)勾股定理的例子要在各槽的值上有所變化，以免學(xué)生形成不恰當(dāng)?shù)膱D式。在呈現(xiàn)勾股定理的兩個(gè)屬性時(shí)，若兩個(gè)屬性中前提條件“直角三角形”和結(jié)論“兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”。那么學(xué)生就會把條件和結(jié)論作為勾股定理的一個(gè)常量，而實(shí)際上變量名稱只是圖式中的一個(gè)變量。為了防止這種傾向，在呈現(xiàn)例子中，不僅有前提條件“直角三角形”和結(jié)論“兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”這兩個(gè)變量，也有其他的變量，即在變量名稱這一無關(guān)特征方面加以變化。學(xué)生同時(shí)學(xué)習(xí)這幾個(gè)例子，并力求找出其共同之處，最后加以概括，形成圖式。

2.勾股定理圖式的精制。圖式獲得后，首先要進(jìn)行第一類精制，這時(shí)的精制以鞏固為主，即繼續(xù)接觸大量的證明勾股定理的方法和例子，使勾股定理的證明圖式的槽及變量之間的約束關(guān)系變得更加鮮明、突出、穩(wěn)固。其次要進(jìn)行第二類精制，形成新的圖式。在具有了精制圖式的動機(jī)后，學(xué)生可以在變量槽中嵌入某種勾股定理的證明方法及其應(yīng)用，從而形成復(fù)合圖式。

3.圖式的遷移功能。奧蘇伯爾認(rèn)為，學(xué)習(xí)的遷移是通過學(xué)生頭腦中形成的認(rèn)知結(jié)構(gòu)而實(shí)現(xiàn)的。因此，他認(rèn)為促進(jìn)遷移就是要塑造學(xué)生良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。而認(rèn)知結(jié)構(gòu)是我們關(guān)于某一領(lǐng)域內(nèi)的所有觀念的內(nèi)容及其組織。為此，從某種意義上說，認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是我們所講的圖式。這樣看來，我們能夠在其他情境中運(yùn)用以前習(xí)得的知識關(guān)鍵在于我們頭腦中形成了一定的圖式。而圖式貯存的知識具有一定程度的概括性，不是具體某一例子在頭腦中的貯存，易于遷移。勾股定理及其逆定理之間的具體聯(lián)系，可應(yīng)用于勾股定理在數(shù)學(xué)問題和實(shí)際應(yīng)用問題中的學(xué)習(xí)中去。

三、勾股定理證明圖式的教學(xué)心得

首先，圖式是一種高級的學(xué)習(xí)策略。研究結(jié)果表明，在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，個(gè)體圖式學(xué)習(xí)策略的形成是十分重要的。一方面，它有利于知識的結(jié)構(gòu)化。結(jié)構(gòu)化的知識可被濃縮成框架，組成網(wǎng)絡(luò)，容易記憶；另一方面，它能夠優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。被優(yōu)化的認(rèn)知結(jié)構(gòu)使所存儲的知識都是“產(chǎn)生式”的，知識結(jié)點(diǎn)間具有高度組織化、易于激活、便于遷移的特征。在數(shù)學(xué)問題解決中，圖式策略使個(gè)體探究問題的張力擴(kuò)大、指向性增強(qiáng)，提高了探索正確解題方案的效率。

其次，圖式是一種高級的教學(xué)策略。常規(guī)教學(xué)強(qiáng)調(diào)以教師為中心，重視陳述性知識和知識的陳述，學(xué)生被動甚至機(jī)械地接受知識，難以形成框架清晰且富有連動性的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。而圖式教學(xué)策略，重視學(xué)生完整的知識結(jié)構(gòu)的建構(gòu)與活化，并因此而消減了因?yàn)楦拍畹戎R難度增加所帶來的認(rèn)知障礙。