《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出，高中數(shù)學(xué)課程要處理好數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與知識(shí)技能之間的關(guān)系，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，同時(shí)注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透。以此為導(dǎo)向，近幾年的高考試題中融入了大量的以數(shù)學(xué)文化為背景的好題，不但考查學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、道德情操，真正做到了全程育人、全方位育人。這些試題頻見于期刊，這里不再贅述。筆者主要收集了一些在高三教學(xué)中發(fā)現(xiàn)的好題，以饗讀者。


一、滲透數(shù)學(xué)文化，體現(xiàn)數(shù)學(xué)人文價(jià)值

1.數(shù)學(xué)文化滲透在立體幾何中

例1.（2020年?yáng)|北師大附中二模）我國(guó)古代勞動(dòng)人民在筑城、筑堤、挖溝、挖渠、建倉(cāng)、建囤等工程中，積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)出了一套有關(guān)體積、容積計(jì)算的方法，這些方法以實(shí)際問(wèn)題的形式被收入我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中?！毒耪滤阈g(shù)·商功》中有：“斜解立方，得兩塹堵。斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑。陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也。合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以棊，其形露矣?！?下圖解釋了這段話中由一個(gè)長(zhǎng)方體得到塹堵、陽(yáng)馬、鱉臑的過(guò)程。已知塹堵的內(nèi)切球半徑為1，則鱉臑的體積的最小值為______。

評(píng)析：我國(guó)古代有著非常輝煌的數(shù)學(xué)研究成果，涌現(xiàn)出了許多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)專著?！毒耪滤阈g(shù)》是我國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，其內(nèi)容十分豐富：全書不但總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，而且在數(shù)學(xué)史上首次闡述了負(fù)數(shù)及其加減運(yùn)算法則。它的出現(xiàn)標(biāo)志著我國(guó)古代數(shù)學(xué)形成了完整的知識(shí)體系。近幾年的高考卷中有很多試題都是從數(shù)學(xué)名著中選取素材，考查知識(shí)的同時(shí)，也讓學(xué)生了解中國(guó)燦爛的數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與情懷。

2.數(shù)學(xué)文化滲透在概率運(yùn)算中

例2.（2020年山西太原模擬）七巧板是中國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成。（清）陸以湉《冷廬雜識(shí)》卷一中寫道：“近又有七巧圖，其式五，其數(shù)七，其變化之式多至千余。體物肖形，隨手變幻，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之?！比鐖D是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為______。

評(píng)析：七巧板游戲是大家喜聞樂(lè)見的，更是許多學(xué)生喜歡玩的智力游戲。該試題以七巧板為背景，考查幾何概型概率的計(jì)算。將這種蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)原理的智力游戲改編成試題，增強(qiáng)了考題的趣味性，也加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的重新認(rèn)識(shí)：數(shù)學(xué)是好玩的！

3.數(shù)學(xué)文化滲透在導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中

例3.（2020年重慶八中月考）我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為[0/0]型。比如當(dāng)[x→0]時(shí)，[ex-1/x]即為[0/0]型。兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限可能存在，也可能不存在。因此，求這類極限時(shí)往往需要適當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化為利用極限運(yùn)算法則或重要極限的形式進(jìn)行計(jì)算。洛必達(dá)法則是在一定條件下通過(guò)對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式值的方法。如，

評(píng)析：該試題給出洛必達(dá)法則的內(nèi)容和運(yùn)算方法，讓學(xué)生快速理解并遷移到試題中，考查學(xué)生的讀題能力、數(shù)學(xué)理解能力以及對(duì)知識(shí)的遷移能力。這一類試題大都取材于一些高等數(shù)學(xué)知識(shí)，比如一些特殊的函數(shù)高斯函數(shù)、黎曼函數(shù)、狄利克雷函數(shù)等，一些獨(dú)特的數(shù)學(xué)概念泰勒級(jí)數(shù)、費(fèi)馬數(shù)、阿波羅尼斯圓、皮克定理、凹凸函數(shù)等，一些特殊的數(shù)學(xué)思想極限理論、逼近思想、分割思想等。這些知識(shí)激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)未知領(lǐng)域充滿了向往。

4.數(shù)學(xué)文化滲透于解析幾何中

例4.（2020年陜西銅川一中期末）圖1為陜西歷史博物館的藏品金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯，杯身曲線內(nèi)斂，玲瓏嬌美。該杯形幾何體的主體部分可以近似看作雙曲線C:[x23]-[y29]=1的右支與直線[x=0,y=4,y=-2]所圍成的曲邊四邊形MABQ繞[y]軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體。如圖2所示，N、P分別為雙曲線C的漸近線與直線[y=4,y=-2]的交點(diǎn)，曲邊五邊形MNOPQ繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積可由祖暅原理（冪勢(shì)既同，則積不容異。意思是兩等高的幾何體，如果在同高處被截得的兩幾何體的截面面積均相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等）求得，據(jù)此求得該金杯的容積是（杯壁厚度忽略不計(jì)）______ 。

評(píng)析：該試題是從歷史文物入手，提煉出解析幾何與立體幾何知識(shí)相融合的數(shù)學(xué)試題，具有一定的綜合性。前人為我們留下的一些經(jīng)典音樂(lè)、繪畫、雕塑、建筑等藝術(shù)作品作為人類文化的瑰寶，具有非凡的魅力，也常常蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)容、經(jīng)典的數(shù)學(xué)方法，許多學(xué)者從中持續(xù)不斷地開發(fā)出一些新型的數(shù)學(xué)試題。這些試題提升了學(xué)生的審美情趣和藝術(shù)修養(yǎng)，同時(shí)也讓學(xué)生了解到數(shù)學(xué)是無(wú)處不在的，數(shù)學(xué)的應(yīng)用是多元的，數(shù)學(xué)的魅力是無(wú)限的，數(shù)學(xué)是美的！

5.數(shù)學(xué)文化滲透于數(shù)列綜合應(yīng)用中

例5.（2020年吉林第二次調(diào)研試題）牛頓（1643.1.4—1727.3.31），英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)，著名物理學(xué)家，同時(shí)在數(shù)學(xué)上也有許多杰出貢獻(xiàn)。牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)時(shí)給出一個(gè)數(shù)列[xn]：滿足[xn+1=xn-fxnfxn]，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列。如果函數(shù)[f(x)=ax2+bx+c(a>0)]有兩個(gè)零點(diǎn)1、2，數(shù)列[xn]為牛頓數(shù)列，設(shè)[an=1nxn-2xn-1]，已知[a1=2],[xn>2,]則[an]的通項(xiàng)公式為______。

評(píng)析：該試題以偉大的物理學(xué)家牛頓命名的牛頓數(shù)列為試題背景，綜合考查函數(shù)與數(shù)列知識(shí)，具有一定的難度，同時(shí)也讓我們認(rèn)識(shí)到牛頓不僅是一位杰出的物理學(xué)家，而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域也頗有建樹，是一位百科全書式的“天才”。

6.數(shù)學(xué)文化滲透于程序框圖應(yīng)用中

例6.（2020年桂林調(diào)研考試）很多關(guān)于整數(shù)規(guī)律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者，有些猜想已經(jīng)被數(shù)學(xué)家證明，如“費(fèi)馬大定理”，但大多數(shù)猜想還未被證明，如“哥德巴赫猜想”“角谷猜想”。“角谷猜想”的內(nèi)容是：對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，就將它乘以3再加1；如果它是偶數(shù)，則將它除以2。如此循環(huán)，最終都能得到1。下圖為研究“角谷猜想”的一個(gè)程序框圖，若輸入n的值為10，則輸出的i的值_____。

評(píng)析：數(shù)學(xué)史上，長(zhǎng)時(shí)期未能解決的數(shù)學(xué)猜想特別多，并且很多都是世界級(jí)的難題！這些猜想如同鑲嵌在數(shù)學(xué)皇冠上的明珠，千百年來(lái)吸引著眾多數(shù)學(xué)家為其不懈努力！本題以著名的“角谷猜想”為背景，讓學(xué)生了解“角谷猜想”的基本內(nèi)容并進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和解決這些猜想的無(wú)限動(dòng)力！

二、 結(jié)合時(shí)政新聞，體現(xiàn)數(shù)學(xué)德育功能

例7.（2020年陜西省高三二模）2019年底，武漢突發(fā)新冠肺炎疫情，2020年初開始擴(kuò)散。黨中央、國(guó)務(wù)院面對(duì)“突發(fā)災(zāi)難”果斷采取措施，舉國(guó)上下，萬(wàn)眾一心支持武漢，全國(guó)各地醫(yī)療隊(duì)陸續(xù)增援湖北，紛紛投身疫情防控與救治病人之中。為了分擔(dān)“抗疫英雄”的后顧之憂，某校教師志愿者開展“愛心輔導(dǎo)”活動(dòng)，為抗疫前線醫(yī)務(wù)工作者子女進(jìn)行在線輔導(dǎo)。春節(jié)期間隨機(jī)安排甲、乙兩位志愿者為一位初中生輔導(dǎo)功課共3次，每位志愿者至少輔導(dǎo)1次，每一次只有1位志愿者輔導(dǎo)，則甲恰好輔導(dǎo)2次的概率為_____。

評(píng)析：這類試題往往以國(guó)家正在發(fā)生的時(shí)事新聞、新方針政策、公眾共同關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題等為背景，甄選一個(gè)角度，抽象出數(shù)學(xué)模型，提煉出數(shù)學(xué)問(wèn)題。既能達(dá)到一般試題的考查效果，也能達(dá)到育人的目的。這道試題解決起來(lái)并不難，學(xué)生可以很快地將題干部分轉(zhuǎn)化成熟悉的概率模型。似乎前面的“情境”無(wú)關(guān)緊要、可有可無(wú)，但正如前面所言“我們要借助一切機(jī)會(huì)進(jìn)行全程育人、全方位育人，將我國(guó)眾志成城、萬(wàn)眾一心、合力抗疫的英雄壯舉融入到數(shù)學(xué)試題中去，培育學(xué)生的大愛大德大情懷”！

筆者引用幾例以此說(shuō)明數(shù)學(xué)文化越來(lái)越多地被我們數(shù)學(xué)工作者重視，正“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”地滲透到教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中去！筆者也呼吁：讓我們攜起手來(lái)，共同挖掘數(shù)學(xué)文化，將其運(yùn)用到教學(xué)中去，為培養(yǎng)新時(shí)代新人共同努力！

作者單位 陜西省西安市第七十中學(xué) 西安市慶安初級(jí)中學(xué)

責(zé)任編輯：張 言