本文系陜西省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題《新高中課程方案框架下學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培育研究》階段研究成果，課題編號：SGH21Y1151。

一、案例背景

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實(shí)世界的抽象，基于抽象結(jié)構(gòu)，通過符號運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中事物的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律”。從特殊到一般，再從一般到特殊的認(rèn)知過程是我們認(rèn)知世界的基本途徑之一。數(shù)學(xué)也如此，從特殊到一般，再從一般到特殊的探究數(shù)學(xué)問題的過程就是數(shù)學(xué)探究中的特殊與一般思想。特殊與一般的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的思想之一，有的特殊問題，需要我們用一般性的規(guī)律去處理；有的一般性問題應(yīng)通過研究其特殊性來揭示一般規(guī)律。事實(shí)上特殊與一般的辯證思想一直貫穿于解題之中，特殊化讓認(rèn)識問題更加全面，一般化讓認(rèn)識問題更加深刻。下面，筆者結(jié)合北師大2019版《數(shù)學(xué)必修》第二冊第一章“三角函數(shù)”第四節(jié)“誘導(dǎo)公式與對稱”來談?wù)勅绾螡B透特殊與一般思想，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)。

（一）教材分析

三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的內(nèi)容之一，誘導(dǎo)公式與對稱充分體現(xiàn)了對稱變換思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，在練習(xí)中加以應(yīng)用，讓學(xué)生進(jìn)一步體會角的任意性, 滲透從特殊到一般，一般到特殊的數(shù)學(xué)思想的探究過程，鍛煉學(xué)生用聯(lián)系和變化的辯證唯物主義觀點(diǎn)去分析問題的能力。誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)化簡、求值中具有非常重要的工具作用，要求學(xué)生能熟練地掌握和應(yīng)用。

（二）學(xué)情分析

本小節(jié)介紹的二至五組誘導(dǎo)公式在內(nèi)容上既是公式一的延續(xù)，又是后繼學(xué)習(xí)誘導(dǎo)公式與旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)，它們與公式一和公式六、公式七組成的七組誘導(dǎo)公式，用于解決求任意角的三角函數(shù)值的問題以及有關(guān)三角函數(shù)的化簡和證明等問題。

（三）課標(biāo)要求

內(nèi)容要求：借助單位圓的對稱性，利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式。

教學(xué)要求：應(yīng)發(fā)揮單位圓的作用，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)際情境，借助單位圓的直觀，探索誘導(dǎo)公式。

（四）學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.借助單位圓及其對稱性，通過觀察推理得出正弦、余弦第二、三、四、五組的誘導(dǎo)公式，發(fā)展學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。

2.能正確運(yùn)用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，并解決有關(guān)三角函數(shù)求值、化簡和恒等式證明問題，發(fā)展學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。

3.通過公式的應(yīng)用，了解未知到已知、復(fù)雜到簡單的轉(zhuǎn)化過程，領(lǐng)悟化歸、特殊到一般、一般到特殊的數(shù)學(xué)思維方法，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng)。

4.獲得探索新知與交流合作的樂趣,體驗(yàn)數(shù)學(xué)內(nèi)在的結(jié)構(gòu)之美，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣以及合作探究的精神，發(fā)展學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)和科學(xué)精神素養(yǎng)。

（五） 教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：借助單位圓，推導(dǎo)出正弦、余弦第二、三、四、五組的誘導(dǎo)公式，能正確運(yùn)用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)。

難點(diǎn)：解決有關(guān)三角函數(shù)求值、化簡和恒等式證明問題。

（六）教法和學(xué)法

1.探究發(fā)現(xiàn)法。

2.講授法。

二、 案例過程

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

問題1：如何將任意角的正弦、余弦三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為[0，2π]的角的正弦、余弦？

學(xué)生：利用所學(xué)終邊相同角的公式一即可轉(zhuǎn)化。

sin(α+2kπ)=sin α , cos(α+2kπ)=cos α, 其中，k∈Z。

問題2：如何將[0，2π]間的角的正弦、余弦轉(zhuǎn)化到[0，[π2]]之間角正弦、余弦？

學(xué)生：任意角的正弦、余弦三角函數(shù)值可以利用公式一轉(zhuǎn)化為[0，2π]間的正弦、余弦，那么[0，2π]間的角也可用一些公式轉(zhuǎn)化到[0，[π2]]間角正弦、余弦。

設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)公式一，建立知識間的聯(lián)系，讓學(xué)生了解角終邊之間的關(guān)系，為推導(dǎo)誘導(dǎo)公式作鋪墊，提高學(xué)生解決問題、分析問題的能力。

（二）滲透特殊與一般思想，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)

問題3：思考角-α與α終邊位置有何關(guān)系?

學(xué)生：如圖1，終邊關(guān)于[x] 軸對稱。

問題4：任意角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P([u]，ν) ,請學(xué)生思考點(diǎn)P關(guān)于 [x]軸對稱的點(diǎn)P＇的坐標(biāo)是什么?

學(xué)生：任意角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P([u]，ν)，點(diǎn)P關(guān)于[x]軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)是P＇ ([u]，-ν) 。

圖1

教師：點(diǎn)P和P＇的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)的絕對值相等且符號相反。即：

sin (-α)=-sin α，所以正弦函數(shù)ν=sin α 是奇函數(shù)；

cos (-α)=cos α，所以余弦函數(shù)[u=]cos α是偶函數(shù)。

記為公式二。

設(shè)計(jì)意圖：通過圖形觀察角-α與α的終邊位置關(guān)系，點(diǎn)P關(guān)于[x]軸對稱的點(diǎn)P＇的坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而得到誘導(dǎo)公式二，提高學(xué)生分析問題、概括能力和一般化能力，發(fā)展學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。

問題5：思考角α+π與α終邊位置有何關(guān)系?

學(xué)生：如圖2，終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱。

問題6：思考角α-π與α終邊位置有何關(guān)系?

學(xué)生：如圖2，終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱。

問題7：任意角α的終邊與單位圓相交于P([u]，ν)，請學(xué)生思考點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)P＇的坐標(biāo)是什么?

圖2

學(xué)生：任意角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P([u]，ν)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)是P＇(-[u]，-ν) ，點(diǎn)P和P＇的橫坐標(biāo)的絕對值相等且符號相反，縱坐標(biāo)的絕對值也相等且符號相反。即：

sin(α+π)=-sin α，cos(α+π)=-cos α；

sin(α-π)=-sin α，cos(α-π)=-cos α。

記為公式三、四。

設(shè)計(jì)意圖：通過圖形觀察角α+π與α、角α-π與α終邊位置關(guān)系，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)P＇的坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而得到誘導(dǎo)公式三、四，提高學(xué)生分析問題、概括能力和一般化能力，發(fā)展學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。

問題8：思考角π-α與α終邊位置有何關(guān)系?

學(xué)生：如圖3，終邊關(guān)于 [y]軸對稱。

問題9：任意角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P([u]，ν)，請學(xué)生思考回答點(diǎn)P關(guān)于[y]軸對稱的點(diǎn)P＇的坐標(biāo)是什么?

圖3

學(xué)生：任意角α的的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P([u]，ν)，點(diǎn)P關(guān)于[y]軸對稱的點(diǎn)坐標(biāo)是P＇ (-[u]，ν) 。點(diǎn)P和P＇的橫坐標(biāo)的絕對值相等且符號相反，縱坐標(biāo)相等。即：

sin (π-α)=sin α，cos (π-α)= -cos α。

記為公式五。

教師：公式五也可以由公式三、四推出。

sin (π-α)=-sin (α-π)=-(-sin α ) =sin α；

cos (π-α)=cos (α-π)= -cos α。

設(shè)計(jì)意圖：通過圖形觀察角π-α與α終邊位置關(guān)系，點(diǎn)P關(guān)于[y]軸對稱的點(diǎn)P＇的坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而得出誘導(dǎo)公式五，提高學(xué)生分析問題、概括能力和一般化能力，發(fā)展學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等核心素養(yǎng)。

教師：誘導(dǎo)公式一、二、三、四、五。

sin (α+2kπ)=sin α，cos (α+2kπ)=cos α，其中，k∈Z；

sin (-α)=-sin α，cos (-α)=cos α；

sin (α+π)=-sin α，cos (α+π)= -cos α；

sin (α-π)=-sin α，cos (α-π)= -cos α；

sin (π-α)=sin α，cos (π-α)= -cos α。

體會軸對稱、中心對稱在推導(dǎo)公式過程中的本質(zhì)特征。

（三）提升運(yùn)算技能，嘗試求解

例1：畫出下列各組中的兩個(gè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn),說出它們的對稱關(guān)系（例題和練習(xí)過程略）。

（1）[5π/4]和[π/4] ； （2）[2π/3]和[π/3]。

練習(xí)1：畫出下列各組中的兩個(gè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，說出它們的對稱關(guān)系。

（1）[11π/6]和[π/6]； （2）[-11π/6]和[π/6]。

例2：求下列三角函數(shù)值：

（1）[sin][(-5π/4)]； （2）cos[2π/3]；

（3）[sin][11π/6]； （4）cos[(-31π/6)]。

練習(xí)2：求下列三角函數(shù)值：

（1）[sin][(-11π/3)] ； （2）cos[135°]；

（3）[sin][(-16π/3)]； （4）cos（[-1110°]）；

（5）cos[11π/4] ； （6）[sin][870°]；

（7）[sin][（-210°）；]（8）cos[（-83π6）]。

練習(xí)3：計(jì)算：

cos[(-7π/6)][sin][（5π/3]）[sin][(-9π/4)]

cos[10π/3]。

練習(xí)4：角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P[（-12/13]，[5/13]）。分別寫出點(diǎn)P關(guān)于 [x]軸、 [y]軸和原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，并求角π-α, -α，α+π，2π-α 的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值。

（四）課后作業(yè)

1.習(xí)題1~4A組第4題。

2.習(xí)題1~4B組第3題。

設(shè)計(jì)意圖：通過精講多練，讓學(xué)生進(jìn)一步理解用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)關(guān)系式、求任意角的三角函數(shù)值，提高學(xué)生解決與分析問題的能力。通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，讓學(xué)生感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識，發(fā)展學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。

（五）小結(jié)反思，感悟提升

1.從知識內(nèi)容方面：角的終邊對稱、誘導(dǎo)公式一、二、三、四、五和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用等。

2.從思想方法方面：數(shù)形結(jié)合、特殊與一般思想方法等。

三、案例反思

（一）教學(xué)設(shè)計(jì)反思

在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)之前，反復(fù)閱讀課程標(biāo)準(zhǔn)和教材，針對教材內(nèi)容精心設(shè)計(jì)，努力讓學(xué)生親歷知識發(fā)生、發(fā)展的過程， 感受“觀察——概括——應(yīng)用”等環(huán)節(jié)，積極投入到思維活動中來。通過與學(xué)生的互動交流，關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展，在課堂中逐漸展開教學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生用已學(xué)的知識、方法解決問題，并獲得知識體系的更新與拓展，進(jìn)而收獲成功。在知識的形成、發(fā)展過程中延拓思維，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題的能力和創(chuàng)造性思維的能力，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，增強(qiáng)學(xué)生主體的合作意識，達(dá)到我們設(shè)計(jì)所預(yù)想的目標(biāo)。

（二）教學(xué)過程反思

本節(jié)內(nèi)容難度不高,教師的干預(yù)較多。在以后的教學(xué)中，對于一些較簡單的內(nèi)容，我們應(yīng)放手讓學(xué)生多一些探究與合作。隨著教育改革的深化，教學(xué)理念、教學(xué)模式、教學(xué)內(nèi)容等因素都在不斷更新，作為數(shù)學(xué)教師我們要更新教學(xué)觀念，著眼于學(xué)生的全面發(fā)展設(shè)計(jì)教學(xué)，關(guān)注學(xué)生個(gè)性和潛能的發(fā)展，使教學(xué)過程更加切合課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，并且還要用全新的理論武裝自己，讓自己的課堂教學(xué)更有效。

作者單位 陜西省榆林市第三中學(xué)

責(zé)任編輯：張 言