在高中數(shù)學教學中，數(shù)學建模的地位毋庸置疑，數(shù)十年前，包括數(shù)學在內(nèi)的基礎(chǔ)教育學科曾經(jīng)興起過一股建模研究的熱潮，而數(shù)學建模在這一熱潮當中就起著引領(lǐng)潮頭的作用。關(guān)于數(shù)學建模，也有人做出這樣的呼吁：為適應(yīng)二十一世紀數(shù)學課程改革中加強應(yīng)用性、創(chuàng)新性，重視聯(lián)系學生生活實際和社會實踐的要求，教師要開展數(shù)學建模教學與應(yīng)用的實踐研究，這樣才可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)造能力和應(yīng)用能力。當前，數(shù)學建模在高中數(shù)學教學中的作用日益突出，已經(jīng)公布的普通高中數(shù)學課程標準在界定數(shù)學學科核心素養(yǎng)的時候，六要素當中數(shù)學建模位列第三，起著承上啟下的作用，由此再次彰顯了數(shù)學建模的重要性。

從教學關(guān)系的角度來看，教學意味著教師的教和學生的學，教師研究數(shù)學建模，體現(xiàn)著對數(shù)學建模的重視，同時也意味著數(shù)學建模能力的培養(yǎng)可以成為數(shù)學教學的一條主要脈絡(luò)。對于學生而言，數(shù)學建模不應(yīng)是一個空洞的概念，學生所要獲得的不是對數(shù)學建模這個概念的知曉，而是自身數(shù)學建模能力的養(yǎng)成。對于教師而言，在核心素養(yǎng)的背景之下，探究培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力的思路，應(yīng)是當前教育研究的一個重要命題?；谶@樣的認識，筆者一方面梳理了自己的教學實踐，尤其是與數(shù)學建模的相關(guān)實踐，同時研究高中生在數(shù)學建模中表現(xiàn)出來的認知特點，以期尋找到一條有效的數(shù)學建模能力培養(yǎng)路徑。

一、數(shù)學建模能力是高中生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)

首先必須認識到的一點是，數(shù)學建模能力是體現(xiàn)高中生數(shù)學學習品質(zhì)的關(guān)鍵要素。這樣的認識對于傳統(tǒng)的數(shù)學教學而言是一個挑戰(zhàn)，因為應(yīng)試形態(tài)之下，教師關(guān)注的往往是學生對數(shù)學知識的掌握情況以及運用數(shù)學知識解答習題的水平。如果教師只是滿足這樣的認識，一個顯而易見的后果就是容易讓高中數(shù)學教學落入應(yīng)試教育的窠臼，這是核心素養(yǎng)背景下所不能認同的。

數(shù)學學科核心素養(yǎng)與數(shù)學建模之間的關(guān)系是非常明顯的，后者是前者的組成要素之一，由于數(shù)學建模具有高度的概括性，所以相對于其他的數(shù)學學科核心素養(yǎng)要素而言，數(shù)學建模更加重要。由此筆者做出一個判斷，那就是學生的數(shù)學建模能力是他們自身數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)。對于這一判斷，我們還可以有兩點理解：一是數(shù)學建模不僅是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的組成要素，而且還是一種學習方式。在數(shù)學建模的過程當中，學生有充裕的自主學習空間，這可以讓學生有更多的機會體驗數(shù)學知識在問題解決中的作用，體驗數(shù)學與其他學科的聯(lián)系，體驗數(shù)學與生活的聯(lián)系。數(shù)學建模的過程，是學生綜合運用數(shù)學知識乃至其他知識的過程，因此學生的數(shù)學建模水平，實際上就是學生學習品質(zhì)的充分體現(xiàn)，自然也是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)。從這個角度認識數(shù)學建模的價值，可以讓教師在培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力的同時，更好地以建模能力作為學生學習評價的指標。二是數(shù)學建模能力是一種綜合能力，根據(jù)有關(guān)課程專家的研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)學建模能力是由閱讀能力、推理能力、計算能力組成的，在學生運用這些能力的過程中，還涉及學生的自我監(jiān)控能力。從這樣的界定來看，說數(shù)學建模能力反映著學生的核心素養(yǎng)水平，是非常恰當?shù)摹?/p>

從已有的教學經(jīng)驗來看，當前高中生的數(shù)學建模能力普遍是比較缺失的，即使數(shù)學基礎(chǔ)較好的學生，也只是在閱讀能力、推理能力、計算能力、自我監(jiān)控能力中的某一個方面表現(xiàn)較好，綜合能力較強的比較罕見。在核心素養(yǎng)的背景之下，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力也就顯得尤為迫切。

二、核心素養(yǎng)背景下高中生數(shù)學建模能力培養(yǎng)的思考

在核心素養(yǎng)的背景下，要想有效培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力，首先要知道影響數(shù)學建模能力的要素有哪些。研究表明，影響學生數(shù)學建模能力的四個因素是動機態(tài)度、知識經(jīng)驗、認知過程、元認知。相應(yīng)的，培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力的策略就可以總結(jié)為：拓展最近發(fā)展區(qū)，強化問題意識，建構(gòu)思維模式，調(diào)用監(jiān)控系統(tǒng)等。在筆者看來，這是一種宏觀認識——宏觀認識的好處是對不同知識點的教學都具有一定的普適性，不足之處在于需要結(jié)合具體的數(shù)學知識進行重新構(gòu)思。

以“函數(shù)的概念”為例，這一知識點在高中數(shù)學知識體系中的作用不言而喻，如何從數(shù)學建模的角度認識函數(shù)概念的教學，并在此過程中有效培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力，是教學設(shè)計與組織的重點。對此，筆者進行兩個環(huán)節(jié)的重點設(shè)計：一是基于實例的分析，讓學生通過分析與總結(jié)得出對函數(shù)的初步認識。此處向?qū)W生提供的實例，應(yīng)當是學生比較熟悉的素材，這個素材可以來源于學生原有的認知基礎(chǔ)，也可以來源于學生的生活經(jīng)驗。比如，自由落體運動當中，物體下落的高度與運動時間的關(guān)系。又比如，圓的面積與圓的半徑的關(guān)系。這些實例相對比較簡單，學生的思維加工難度也不大。為了促進學生認識的形成，教師可以采取變式的思路，用生活意味更濃、函數(shù)關(guān)系更隱秘的一些例子來深化學生對函數(shù)關(guān)系的認識。例如，站在國民經(jīng)濟的角度，選擇國際上通行的恩格爾系數(shù)相關(guān)的數(shù)據(jù)，如下表：

20220920161053763-46-ea305.jpg_scale.jpg

在這個表中呈現(xiàn)的是城鎮(zhèn)居民家庭恩格爾系數(shù)與時間之間的關(guān)系，這個關(guān)系相對于學生已經(jīng)知道的函數(shù)而言并不那么明顯，但是由于已經(jīng)有了前面兩個函數(shù)關(guān)系作為鋪墊，學生在研究這個例子的時候，反而容易帶著尋找函數(shù)關(guān)系的意識來研究這張表格。如此通過簡單例子與復(fù)雜生活例子相結(jié)合的方式，可以讓學生對函數(shù)形成初步認識。二是在上一步當中，學生對函數(shù)形成的初步認識，更多的是以一種潛意識方式存在于學生的思維當中的。從數(shù)學建模培養(yǎng)的角度來看，學生積累的這些認識奠定了數(shù)學建模的基礎(chǔ)，但還要借助具體的方式來實現(xiàn)數(shù)學模型的建構(gòu)，而這個過程也正是數(shù)學建模能力得以培養(yǎng)的過程。在這個環(huán)節(jié)，教師應(yīng)當重點設(shè)計讓學生將此前形成的已有認識轉(zhuǎn)化為顯性認識，然后再用數(shù)學語言描述出來。在具體的教學過程中，已有認識轉(zhuǎn)化為顯性認識可以這樣進行引導(dǎo)：如果用前面兩個例子來分析恩格爾系數(shù)這個實例，你能有什么樣的發(fā)現(xiàn)？學生通過研究發(fā)現(xiàn)，在這個例子當中很難得到一個明確的恩格爾系數(shù)隨著時間的變化而變化的關(guān)系，有一點可以肯定，那就是每年的城鎮(zhèn)居民家庭恩格爾系數(shù)都有一個相應(yīng)的對應(yīng)值。在教學的過程中，教師要抓住“對應(yīng)”這個關(guān)鍵詞，并在此基礎(chǔ)上演繹“唯一對應(yīng)”的關(guān)系，如此函數(shù)關(guān)系也就更加清晰了。

其后運用數(shù)學語言描述分析、歸納結(jié)論時，重在體現(xiàn)數(shù)學語言的精確性。這里不妨再梳理一下通常情況下對函數(shù)的定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)……

分析這段數(shù)學語言的時候，教師要引導(dǎo)學生對照上面的實際例子，去判斷何為集合A，何為集合B，重點要判斷對應(yīng)關(guān)系f，事實證明，只要把這個關(guān)系梳理清楚，學生就可以將函數(shù)的定義與前面所舉的例子進行完美對照，從而也就促進了函數(shù)概念或者函數(shù)模型的建立。從數(shù)學建模能力培養(yǎng)的角度來看，在上面的教學案例當中，從例子的列舉，到分析與綜合，到對應(yīng)關(guān)系的梳理，再到數(shù)學語言的運用，就是一個數(shù)學建模的典型過程，在這樣的過程當中，遵循相應(yīng)的思路模式，數(shù)學建模能力就可以得到切實有效的培養(yǎng)。

三、高中生數(shù)學建模能力形成過程中的心理機制分析

一般認為，除了數(shù)學概念與規(guī)律的建構(gòu)，在問題解決的過程中，數(shù)學建模能力也可以得到相應(yīng)培養(yǎng)。這是因為學生在面對實際的數(shù)學問題時，首先需要根據(jù)題設(shè)條件進行數(shù)學模型的構(gòu)建，然后通過思考選擇需要的數(shù)學知識，從而有效解決數(shù)學問題。但需要注意的是，問題解決過程中的模型建構(gòu)，與新知教學中的模型建構(gòu)略有不同，當學生面臨問題解決的時候，數(shù)學建模最重要的一個環(huán)節(jié)是將題目中的信息與大腦中的已有知識進行聯(lián)系，如此才能尋找到數(shù)學建模的方向。其實分析到這一點，我們就應(yīng)當意識到，無論是什么情況下的建模，從能力培養(yǎng)的角度出發(fā)，關(guān)鍵還是要掌握數(shù)學建模過程中的心理機制。

就筆者的研究而言，高中生在數(shù)學建模的過程中，重要的心理活動往往有這樣幾個：一是對素材的分析，二是對關(guān)系的推理，三是數(shù)學語言的組織（認知心理學中的“精加工”）。只有當學生在“精加工”的過程中發(fā)現(xiàn)邏輯關(guān)系時，數(shù)學模型才有可能被成功地建立，數(shù)學建模能力的培養(yǎng)也才有可能真正變成現(xiàn)實。

從核心素養(yǎng)培育的角度來看，無論是數(shù)學素材還是生活素材，都是需要進行思維加工的，這個過程當中有數(shù)學抽象的成分，也有邏輯推理的成分，這些都是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的體現(xiàn)?？傮w來說，在核心素養(yǎng)的背景之下，培養(yǎng)高中生的數(shù)學建模能力，意義既在于培養(yǎng)學生應(yīng)用數(shù)學的意識、培養(yǎng)學生各方面的能力，同時又在于彰顯核心素養(yǎng)的價值。

作者單位   甘肅省酒泉市玉門市第一中學

責任編輯：張言