數(shù)學是研究數(shù)量之間的關系和物體或圖形之間的空間形式的學科，這也決定了數(shù)學的強邏輯性和理性思維為主的學科性質。在教學中，我們在重視學生數(shù)學知識和技能掌握的同時，更要引導學生洞察知識的內在思想，提高學生對知識的本質認識。小學低年級的學生雖然年齡小，知識儲備少，但正是由于這時學生處于學習的起始階段，才能更好地在學生心中種下數(shù)學學習的種子。萬事始于初，教學中教師要結合低年級的學習內容有意識地加以滲透，使數(shù)學思想與方法在學生頭腦中生根發(fā)芽，助力學生后續(xù)的數(shù)學學習。

一、概括學習內容，由數(shù)學語言的簡潔性滲透抽象的數(shù)學思想

抽象是對數(shù)量和空間形式的內在一般特征進行的深化和總結，是數(shù)學的一個重要特征。在教學時，教師要結合學習內容讓學生體會數(shù)字、數(shù)學符號等，使其初步感知數(shù)學的抽象。

1.以現(xiàn)實情境為依托，抽象出對數(shù)的認識

對數(shù)的抽象認識，是數(shù)學抽象思想中最基本的一項。小學數(shù)學第一個學習內容為“1-5的認識”，這是學生展開數(shù)學學習的起點。在教學中，教師要通過多種生活中的學習材料，使學生由現(xiàn)實情境中的實物逐步抽象出數(shù)。

在教學“1-5的認識”一課時，教師先引導學生利用情境圖中的實物有序地數(shù)數(shù)。如圖中有2輛坦克，學生用圓片代替實物擺一擺，然后讓學生說一說“我們身體有哪些是2個呢？”學生紛紛回答：“有2只胳膊、2條腿、2只手、2只腳、2只眼睛等?！边@時，學生由現(xiàn)實情境抽象出“2”這個數(shù)。接著再讓學生拿出2支鉛筆、2個本子、拍2下手，使學生認識到數(shù)字“2”。在學習中，學生經(jīng)歷了由物到數(shù)、再由數(shù)到物的兩個過程。如學生先把實物進行抽象，再把抽象的數(shù)賦予現(xiàn)實中，這樣學生在豐富的感知中便理解了數(shù)的意義。

2.以操作過程為基礎，抽象出計算方法

計算教學是小學數(shù)學學習中重要的組成部分，是進行問題解決的基礎。在教學中，教師要創(chuàng)設各種動手操作的活動情境使算理變得直觀形象，這樣的操作有利于學生抽象出計算方法。

如在教學“9加幾”一課中，教師引導學生列出算式“9+2”后，讓學生利用手中的紅色和黃色圓片擺一擺，并思考：怎樣移動圓片，就能快速看出一共有幾個？學生通過思考和嘗試、討論和交流，得出“看大數(shù)、分小數(shù)”，用湊十法來計算。具體的操作、形象的實物，使學生明晰了算理。

接下來，教師適時引導：我們把剛才的操作過程，用式子表示出來：9 + 2=11，學生看到用式子列出來的過程更加簡潔、明了。然后，教師讓學生看著式子“表述9+2”的計算過程，學生由學具操作抽象出了“9加幾”的計算方法。

3.以立體圖形為橋梁，抽象出平面圖形

對圖形認識的學習，我們一般是從常見的立體圖形開始。學生只有對常見的立體圖形有了充分直觀認知，教師才能引導學生從這些具體的圖形中抽象出常見的平面圖形。

在教學“認識圖形”一課時，教師先讓學生欣賞由各類卡紙拼成的圖畫，當學生對圖畫有了初步感知后，讓他們利用長方體、正方體、圓柱等立體模型進行分類，并畫出這些立體圖形中的面，以此使學生認識這些常見的平面圖形。

低年級的學生對幾何圖形的學習，是由“體”到“形”的認識過程，也是由具體到抽象的過程。因為“體”是現(xiàn)實生活中的實物，而“形”是由具體的實物抽象而來的。通過對立體圖形的表面進行描畫，搭建具體立體圖形與抽象平面圖形間的橋梁，使抽象的平面圖形得以充分展示，進一步拓寬學生對圖形的認識。

4.以分類練習為場景，抽象出事物的共性特征

在低年級數(shù)學教學中，對物品進行分類就是通過對物品的特征進行分析，從而抽象出物品的共性特征。如把不同形狀、顏色的樹葉進行分類，就是自定標準的分類。教師先讓學生嘗試自主分類，然后通過交流，學生表述自己分類的標準：可以按形狀分，也可以按顏色分。學生按照物品的特點確定了分類標準，并發(fā)現(xiàn)同樣的物品還可以用不同的標準進行分類。

抽象是對學習內容、學習過程和學習材料的高度概括，數(shù)學的簡潔美使抽象的特點凸顯了出來。教師要利用豐富的學習材料引導學生進行觀察和體會，發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識的內在本質，感悟抽象的意義。

二、發(fā)現(xiàn)和證明結論，由推導的邏輯性滲透推理的數(shù)學思想

推理是通過對素材進行分析和推斷，由此推導、衍生出結論的思維方式，其分為合情推理和演繹推理。在教學中，教師要為學生創(chuàng)設出各種推理情境，使學生由此及彼地得出新結論，促進他們知識體系的完善。

1.探索結論，發(fā)展合情推理能力

合情推理是利用對學習材料呈現(xiàn)的直觀感受，由一而類推到三，并通過對大量同類型事例的總結，由特殊推廣到一般，進而得出結論。合情推理有利于學生數(shù)學思維的發(fā)展，是新課程標準推進中需要不斷被強化的。在教學中，教師要引導學生從實際出發(fā)去探索結論，拓寬學生解決問題的基本思路。

如在教學“6、7的加法”一課時，教師結合學生擺小棒、擺圖片等實物操作，讓學生計算：2+4=6，4+2=6。然后，教師引導學生交流：這兩道算式哪里相同，哪里不同？學生觀察后發(fā)現(xiàn)：這兩道算式都是加法，加號兩邊的數(shù)的位置交換了，得數(shù)都是6。教師繼續(xù)引導學生猜測：交換兩個相加的數(shù)的位置，得數(shù)會怎樣呢？學生直觀認為得數(shù)不變。接下來，教師讓學生進行舉例驗證：你還能說出這樣的加法算式嗎？隨即，學生會根據(jù)前面的學習經(jīng)驗舉例說明，并通過大量的例證得出結論。

如在教學“有關0的加減法”一課時，教師先讓學生觀察情境圖：樹上有2只鳥，飛走了2只。然后，學生根據(jù)圖中信息列出算式：2-2=0（只）。接著，我們稍改一下圖后，學生又列出算式：3-3=0（只）。教師引導學生觀察這兩道算式有什么特點。學生觀察后發(fā)現(xiàn)：這兩道算式，都是兩個相同的數(shù)去減，結果都等于0。接下來，教師啟發(fā)學生：你還能寫出得數(shù)是0的減法算式嗎？學生寫出：4-4=0，5-5=0，1-1=0和0-0=0。由此學生發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，得出了結論。通過學習過程中的合情推理，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新思維能力和創(chuàng)新實踐能力，提高了學生解決問題的能力。

2.證明結論，發(fā)展演繹推理能力

演繹推理是從已確定的規(guī)則出發(fā)，研究現(xiàn)有的學習材料是否符合這一規(guī)則和定義，是否屬于既有規(guī)則和定義框架之下。演繹推理是由一般結論延伸到具體各個獨立事例的過程。在教學中，教師要通過實例引導和幫助學生學會演繹推理的方法和要求，使學生有條理地思考問題。

如教學“長方形和正方形的認識”時，當學生對長方形和正方形邊和角的特點有了初步認識后，教師引導學生思考：長方形與正方形有什么關系？學生通過前面的學習，直觀地認識到兩種圖形有許多相似之處，但對于探討圖形之間關系的題目這是學生初次涉及，這時教師要給予學生充足的時間進行交流，并適時加以引導：長方形和正方形哪一個包括的圖形更廣、范圍更大呢？通過思考，學生明確：在長方形和正方形這兩種圖形中，長方形具有的是一般特征，而正方形符合長方形的這些一般特征，且具有特殊性，因此正方形是特殊的長方形。由一般到特殊，學生初步體會了演繹推理的過程。

又如，低年級中找規(guī)律圈數(shù)的題目：1、2、③、4、5、⑥、7、8、⑨、10、11、12、13、14、15、16。教師先讓學生觀察已圈出數(shù)的規(guī)律，然后嘗試接著圈，并全班交流。有的學生說：“圈出的數(shù)加3，就是后面一個要圈的數(shù)?！庇械膶W生說：“圈出的數(shù)再隔2個數(shù)，就是下一個要圈出的數(shù)。”學生找出規(guī)律后，正確地圈出了剩余部分要圈的數(shù)。通過學習過程中的演繹推理，學生對規(guī)則和定義有了進一步明確認識，對知識之間的聯(lián)系更加清晰了。

運用數(shù)學推理，可以從現(xiàn)有的數(shù)學規(guī)則和定義中進一步得到大量的結論，從而使數(shù)學認知體系更加完善，促進數(shù)學學科和學生數(shù)學學習能力的發(fā)展。數(shù)學的邏輯性也在推理的過程中得以充分展現(xiàn)，并在后續(xù)的學習中進一步促進學生推理思想的發(fā)展。

三、建立解題模式，以數(shù)學模式的通用性滲透模型的數(shù)學思想

模型思想是從共性的問題中抽象出問題模型，在問題解決的過程中對解題思路和方法進行總結和提煉，并把求出的模式化結論運用到現(xiàn)實中解決問題的思想。在教學中，教師要結合學習內容，引導學生發(fā)現(xiàn)解決共性問題的方法，并在實際解決問題的過程中辨析不同類型的題目，選擇適用的解題模型，快速且高效地將問題解決。

1.引導學生分析數(shù)量關系，掌握基本的加減乘除問題模型

小學一年級上冊的加、減法問題模型為：部分數(shù)＋部分數(shù)=總數(shù)，總數(shù)－部分數(shù)=部分數(shù)。在教學中，教師要結合情境圖或實際的問題情境，引導學生對已知的量和要求的量逐個進行分析，明確數(shù)量關系中是總數(shù)還是部分數(shù)。從一年級開始，教師就要注重培養(yǎng)學生用數(shù)學語言完整、規(guī)范地對已知條件和所求問題進行表述。在對模型的不斷強化中，學生會逐步解決同類型習題。

又如二年級乘、除法問題的基本模型為：每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)，總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)，總數(shù)÷每份數(shù)=份數(shù)。教師結合具體問題情境，引導學生分析題目中已知的量和要求的量分別是什么，并讓學生學會用數(shù)學語言表述用哪一個數(shù)量關系式的模型來解答。

學生在低年級就開始接觸基本的數(shù)量關系，教師要依托大量的具體情境，幫助學生從眾多情境中抽象出模型，并引導其運用這些基本的數(shù)量關系模型去解決類似問題。同時，教師要讓學生用數(shù)學語言清晰地表述自己的想法，發(fā)展學生的數(shù)學語言表達和交流能力。數(shù)學模型的積累是學生學習數(shù)學的基礎，是數(shù)學課堂發(fā)展的鋪墊。

2.引導學生有序思考，發(fā)現(xiàn)圖形問題的解題模型

低年級的“數(shù)圖形”是非常常見的內容，教師要讓學生學會運用模型解題，并向學生滲透模型思想的典型題目。

如課本中的圖片1：數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個角？教師先讓學生嘗試自主解決。學生經(jīng)過激烈討論，建立了數(shù)角的表象和經(jīng)驗，并在全班予以交流分享。對比學生不同的數(shù)法，教師引導他們思考：在數(shù)角時，最重要的是什么？這時學生對數(shù)角的過程進行回顧，體會到了有順序數(shù)數(shù)的重要性，只有“有序”才能做到不重復和不遺漏。接下來，我們引導學生總結出數(shù)角的解題模型：單獨角有3個，兩個單獨角組成的角有2個，三個單獨角組成的角有1個。所以圖中一共有：3+2+1=6（個）角。教師讓學生用這一模型解決類似習題：_______共有（  ）個角。學生通過對模型的運用，熟練地掌握了數(shù)角的方法。

又如，課本中的圖片2：數(shù)一數(shù)圖中共有多少個正方形？學生在積累了前面數(shù)角、數(shù)線段的模型的基礎上，教師鼓勵學生嘗試找出解題模型。經(jīng)過探討和比較數(shù)法，學生找出了數(shù)正方形的模型：最小的正方形有3×3=9（個），四個小正方形組成的較大正方形有2×2=4（個），九個小正方形組成的大正方形有1×1=1（個）。所以，圖中共有9+4+1=14（個）正方形。同樣，教師讓學生嘗試練習同類型的習題：某圖中有（    ）個正方形，把解題模型運用到實際的練習中。

3.引導學生畫圖解決問題，得出“比多、比少”問題的解題模型

小學低年級加減法問題，除了基本的解題模型，還有“求一個數(shù)比另一個數(shù)多幾（或少幾）”和“求比一個數(shù)多幾（或少幾）”兩種類型。在教學中，教師要引導學生畫圖，明晰題目中的數(shù)量關系，進而得出解題模型。

如東北虎有15只，華南虎有8只，東北虎比華南虎多幾只？華南虎比東北虎少幾只？教師先引導學生按照一一對應的方法畫○表示東北虎和華南虎的只數(shù)，然后根據(jù)畫出的圖讓學生進行交流：東北虎比華南虎多幾只或華南虎比東北虎少幾只，在圖里我們要用什么方法予以表示等。學生通過觀察，得出從東北虎的只數(shù)中去掉和華南虎同樣多的部分，就是東北虎比華南虎多的只數(shù)或華南虎比東北虎少的只數(shù)。所以，這種類型題的解題模型為：東北虎只數(shù)－華南虎只數(shù)=東北虎比華南虎多的只數(shù)（或華南虎比東北虎少的只數(shù)）。

又如，（1）桃樹有45棵，杏樹比桃樹多15棵，杏樹有多少棵？（2）桃樹有45棵，杏樹比桃樹少15棵，杏樹有多少棵？教師引導學生畫線段圖表示題中的數(shù)量關系，然后通過畫圖明確本題的解題模型。

數(shù)學模型的最大優(yōu)點就是其通用性。在教學中，教師要以實際問題為載體，引導學生對解題方法和思維路徑進行優(yōu)化，形成穩(wěn)定的數(shù)學關系結構，提煉并運用問題解決模型，促進學生數(shù)學模型思想的初步發(fā)展。

數(shù)學思想蘊含在所學的數(shù)學知識中，正因為其內隱性，更需要充分重視并有意識地使之展現(xiàn)。在教學中，教師要引導學生感悟數(shù)學思想，在后續(xù)的學習中逐漸加以明晰，使學生對數(shù)學思想的認識經(jīng)歷從觀察、發(fā)現(xiàn)、理解到應用的過程。數(shù)學思想是貫徹以學生為本的教學理念，觸及人思想深處的東西，更是人終身學習發(fā)展的源泉。教師要做的就是從低年級開始滲透數(shù)學思想，在更高層次上引領學生的數(shù)學成長，為學生的數(shù)學發(fā)展奠定更堅實的基礎。

作者單位   山東省德州市黎明街小學

責任編輯：張言