數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一種由數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)、式子和圖像組成的科學(xué)語(yǔ)言，具有抽象性、準(zhǔn)確性、簡(jiǎn)約性和形式化等特點(diǎn)。數(shù)學(xué)運(yùn)算和推理也以符號(hào)為載體，因而符號(hào)意識(shí)非常重要。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在課程目標(biāo)中明確指出：“符號(hào)意識(shí)主要是指能夠感悟符號(hào)的數(shù)學(xué)功能，知道符號(hào)表達(dá)的現(xiàn)實(shí)意義，能夠初步運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)量、關(guān)系和一般規(guī)律，知道用符號(hào)表達(dá)的運(yùn)算規(guī)律和推理結(jié)論具有一般性，初步體會(huì)符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思考的重要形式，符號(hào)意識(shí)是形成抽象能力和推理能力的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)?！狈?hào)意識(shí)是核心素養(yǎng)在小學(xué)階段的主要表現(xiàn)，包含在數(shù)學(xué)抽象中，新課標(biāo)在核心素養(yǎng)內(nèi)涵的闡述中寫道：“通過(guò)數(shù)學(xué)的眼光，可以從現(xiàn)實(shí)世界的客觀現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與空間形式，提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題；能夠抽象出數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其屬性，形成概念、關(guān)系與結(jié)構(gòu)?！币虼耍瑢W(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)抽象概括的結(jié)果也可以用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表達(dá)，使其具有簡(jiǎn)約性和一般性。下面，我從符號(hào)意識(shí)研究現(xiàn)狀、符號(hào)意識(shí)課程目標(biāo)、符號(hào)意識(shí)發(fā)展策略三個(gè)方面，談一談自己的一些粗淺認(rèn)識(shí)。

一、符號(hào)意識(shí)研究現(xiàn)狀

目前，國(guó)外對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的研究主要集中在具體內(nèi)容分析及概念界定上，國(guó)內(nèi)則主要集中在數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的內(nèi)涵解讀與培養(yǎng)方面，這與《全日制義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》及《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中將符號(hào)感（符號(hào)意識(shí)）作為核心概念是分不開的。但在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)大多停留在認(rèn)識(shí)和記憶層面，使用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算和推理的能力較弱。關(guān)于數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的研究雖然取得了一些成果，但更多的是針對(duì)具體年級(jí)或者階段，缺乏較為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)培養(yǎng)的研究和評(píng)價(jià)，缺少一定的理論支撐，對(duì)一線教師來(lái)說(shuō)，缺乏指導(dǎo)性和操作性。因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)該關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)和發(fā)展。

二、符號(hào)意識(shí)課程目標(biāo)

新課標(biāo)提出：“數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)，主要包括三個(gè)方面：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界?！蓖瑫r(shí)指出：“在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)眼光主要表現(xiàn)為：抽象能力（包括數(shù)感、量感、符號(hào)意識(shí)）、幾何直觀、空間觀念與創(chuàng)新意識(shí)?！狈?hào)意識(shí)是小學(xué)階段主要的核心素養(yǎng)之一，在學(xué)段目標(biāo)中均有明確的要求。第一學(xué)段提出經(jīng)歷簡(jiǎn)單的數(shù)的抽象過(guò)程，認(rèn)識(shí)萬(wàn)以內(nèi)的數(shù)，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整數(shù)四則運(yùn)算，形成初步的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)和運(yùn)算能力。第二學(xué)段提出要認(rèn)識(shí)自然數(shù)，經(jīng)歷小數(shù)和分?jǐn)?shù)的形成過(guò)程，初步認(rèn)識(shí)小數(shù)和分?jǐn)?shù)；能進(jìn)行較復(fù)雜的整數(shù)四則運(yùn)算和簡(jiǎn)單的小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算，理解運(yùn)算規(guī)律；形成數(shù)感、運(yùn)算能力和初步的推理意識(shí)。第三學(xué)段要求經(jīng)歷用字母表示數(shù)的過(guò)程，認(rèn)識(shí)自然數(shù)的一些特征，理解小數(shù)和分?jǐn)?shù)的意義；能進(jìn)行小數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算，探索數(shù)運(yùn)算的一致性；形成符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力、推理意識(shí)。

從三個(gè)學(xué)段的目標(biāo)要求上來(lái)看，符號(hào)意識(shí)和數(shù)感有著緊密的聯(lián)系。Picciotto和Wah（1993）認(rèn)為符號(hào)意識(shí)是超越數(shù)感的一種數(shù)學(xué)文化水平，是對(duì)符號(hào)思考能力的鑒賞，是對(duì)何時(shí)并且為什么使用符號(hào)的一種理解能力，是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的一種感知能力。由此可見(jiàn)，符號(hào)是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果，符號(hào)意識(shí)的發(fā)展也必須經(jīng)歷“抽象—建?！獞?yīng)用”的過(guò)程。

三、符號(hào)意識(shí)發(fā)展策略

下面，筆者以“分一分（一）”一課為例，談一談兒童數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的發(fā)展。

“分一分（一）”是北師大版三年級(jí)上冊(cè)第六單元“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”的第一課時(shí)，主要介紹的是將一個(gè)物體或圖形作為整體的分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)，重點(diǎn)是讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義，難點(diǎn)是讓學(xué)生感受分?jǐn)?shù)的相對(duì)性。教材創(chuàng)設(shè)了分蘋果的情境，即把1個(gè)蘋果平均分給2個(gè)人，每人分到這個(gè)蘋果的一半，通過(guò)具體情境，讓學(xué)生了解分?jǐn)?shù)的必要性；通過(guò)折一折、涂一涂，讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義。

為了了解學(xué)生真實(shí)認(rèn)知水平，找到學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，我對(duì)三年級(jí)部分學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生基本說(shuō)不清分?jǐn)?shù)所表示的意義，大部分學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)可以表示具體的數(shù)量難以接受。

基于對(duì)教材的認(rèn)識(shí)和前測(cè)情況，我確定了自己的教學(xué)設(shè)想：三年級(jí)學(xué)生處于形象思維階段，特別依賴豐富的學(xué)習(xí)素材和直觀的操作體驗(yàn)。因此，認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的第一節(jié)課，應(yīng)該從學(xué)生熟悉的分物過(guò)程和結(jié)果引入，當(dāng)平均分物的結(jié)果不能用整數(shù)表示時(shí)，便出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)。2022版新課標(biāo)對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)提出了一致性的要求，正如史寧中教授所說(shuō)，應(yīng)該讓所有數(shù)的認(rèn)識(shí)（整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)）具有統(tǒng)一性，要經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程，這就對(duì)教師提出了更高的要求，教師既要認(rèn)真研讀課標(biāo)、教材，了解不同學(xué)段的教學(xué)目標(biāo)。又要站在整體的視角理解知識(shí)的本質(zhì)，了解分?jǐn)?shù)概念表達(dá)的多重性特征，以及各種表達(dá)之間的關(guān)聯(lián)，這樣才能使學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)理解的更加深入，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)分?jǐn)?shù)概念地深度建構(gòu)。帶著這樣的思考，本節(jié)課我從分?jǐn)?shù)表示具體的數(shù)量入手，再抽象出分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生初步感悟分?jǐn)?shù)表示部分與整體的關(guān)系，掌握分?jǐn)?shù)從表示具體的數(shù)量到抽象的分率，使他們對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)知更為完整。在教學(xué)過(guò)程中，我結(jié)合課程目標(biāo)要求，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，從以下四個(gè)方面設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，以此發(fā)展兒童數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)，使學(xué)生逐漸形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

1.結(jié)合情境“創(chuàng)造”分?jǐn)?shù)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)符號(hào)抽象過(guò)程

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目標(biāo)之一是使學(xué)生懂得符號(hào)的意義，會(huì)用符號(hào)解決實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)本身的問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的符號(hào)感。三年級(jí)學(xué)生處于形象思維階段，在教學(xué)的過(guò)程中，教師要盡量向?qū)W生提供豐富的學(xué)習(xí)素材，置學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)于情境之中。同時(shí)，還要根據(jù)學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)他們用自己的方式主動(dòng)表示情境中的數(shù)量關(guān)系，經(jīng)歷符號(hào)產(chǎn)生的過(guò)程，逐步走進(jìn)符號(hào)化的數(shù)學(xué)世界。

在“分一分（一）”的教學(xué)中，我用學(xué)生感興趣的動(dòng)畫視頻引出“小雞分蘋果”的故事，學(xué)生邊看邊思考：故事中隱藏了哪些數(shù)學(xué)算式？學(xué)生按照故事的先后順序想到：4÷2=2（個(gè)）和2÷2=1（個(gè)），這是學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)。我還讓學(xué)生嘗試講一講算式背后的故事，幫助學(xué)生進(jìn)一步感受除法算式和結(jié)果的意義：把1個(gè)蘋果平均分給2個(gè)人，用除法表示分的過(guò)程，即1÷2=？有部分學(xué)生的算式是2÷1，這可能與他們之前所見(jiàn)的除法算式都是被除數(shù)比除數(shù)大有關(guān)，學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，知道每個(gè)人可以分半個(gè)。我順勢(shì)引導(dǎo)并啟發(fā)學(xué)生：如何表示半個(gè)蘋果呢？學(xué)生就想到了一半、0.5、二分之一、[1/2]。還有學(xué)生用畫圖的方式表示半個(gè)蘋果，在比較以上表示方法的過(guò)程中，學(xué)生明顯覺(jué)得用文字和圖形比較麻煩，此時(shí)水到渠成地就引出了本節(jié)課需要理解的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，如[12]。

片斷一：

師：在剛才的故事中，小雞遇到了什么問(wèn)題？

生：小雞要把1個(gè)蘋果平均分給兩個(gè)人，每人應(yīng)該分一半。

師：用什么可以表示“一半”呢？請(qǐng)同學(xué)們想一想，把方法寫在練習(xí)本上。

學(xué)生很快就獨(dú)立完成了，我隨機(jī)指定一名學(xué)生讓其將自己的答案寫在黑板上。

師：大家想了這么多表示“一半”的方法，你覺(jué)得可以分為幾類？

生：兩類，一類是用圖形符號(hào)表示，一類是用數(shù)字符號(hào)表示。

師：你更喜歡哪一類？為什么？

生：我更喜歡數(shù)字表示，因?yàn)樗?jiǎn)潔、方便、準(zhǔn)確。

師：0.5和[1/2]這兩個(gè)數(shù)字符號(hào)都可以表示半個(gè)，0.5是我們以前學(xué)習(xí)的小數(shù)，[12]是我們今天要認(rèn)識(shí)的新朋友——分?jǐn)?shù)。

學(xué)生在“分蘋果”的過(guò)程中，自然而然地了解了分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性，他們?cè)趶奈淖帧D形表達(dá)到符號(hào)表達(dá)的過(guò)程中，充分感受了符號(hào)的優(yōu)越性和準(zhǔn)確性。

2.了解分?jǐn)?shù)發(fā)展歷史，感知數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)龍去脈

教材在“你知道嗎”模塊中呈現(xiàn)了分?jǐn)?shù)發(fā)展的歷史過(guò)程。從3000多年前古埃及分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生開始，在古埃及人的眼中，分?jǐn)?shù)是沒(méi)有幾分之幾的，他們只使用分子是1的分?jǐn)?shù)，用一個(gè)卵形記號(hào)表示分子為1的分?jǐn)?shù)。2000多年前的中國(guó)用算籌表示分?jǐn)?shù)：分子在上，分母在下。繼中國(guó)的籌算分?jǐn)?shù)之后，又過(guò)了五六百年，印度出現(xiàn)了有關(guān)分?jǐn)?shù)理論的論述，所不同的是使用了阿拉伯?dāng)?shù)字，但中間沒(méi)有分?jǐn)?shù)線。再往后，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家發(fā)明了分?jǐn)?shù)線，分?jǐn)?shù)的表示法就成為現(xiàn)在這樣了。

片斷二：

師：同學(xué)們真厲害，在分蘋果的過(guò)程中像數(shù)學(xué)家一樣創(chuàng)造了[1/2]，其實(shí)，用[1/2]來(lái)表示一半也是經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程。

出示課件：分?jǐn)?shù)發(fā)展史

3000多年前的古埃及、2000多年前的中國(guó)、1000多年前的印度、800多年前的阿拉伯，讓學(xué)生了解分?jǐn)?shù)由圖形符號(hào)到數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)展過(guò)程。

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師：現(xiàn)在說(shuō)一說(shuō)你有什么感受？

生1：古人太聰明了。

生2：分?jǐn)?shù)是慢慢變成現(xiàn)在這個(gè)樣子的。

生3：我想未來(lái)分?jǐn)?shù)可能還會(huì)變。

師：通過(guò)分?jǐn)?shù)的發(fā)展史，我們感受到了勞動(dòng)人民的智慧，請(qǐng)大家把掌聲送給所有充滿智慧的勞動(dòng)者。

在教學(xué)過(guò)程中，我通過(guò)引入分?jǐn)?shù)發(fā)展的歷史，一方面給學(xué)生增加數(shù)學(xué)文化知識(shí)，拓展學(xué)生的視野，另一方面幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)符號(hào)是在生產(chǎn)生活中產(chǎn)生的，隨著時(shí)間的發(fā)展更加簡(jiǎn)潔、清晰。

3.多元化表示分?jǐn)?shù)概念，豐富數(shù)學(xué)符號(hào)內(nèi)涵

數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)存在的具體化身。學(xué)生認(rèn)識(shí)符號(hào)不能只停留在表面，而是要通過(guò)多樣化的表示方式加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，這是符號(hào)應(yīng)用的前提和基礎(chǔ)。

分?jǐn)?shù)的意義可以從兩個(gè)方面來(lái)理解，一是表示一個(gè)量，二是表示部分與整體之間的關(guān)系。本課就是從“量”到“率”的抽象過(guò)程，在認(rèn)識(shí)[1/2]個(gè)蘋果后，我讓學(xué)生嘗試找一找生活中其他可以[1/2]用表示的量，如[1/2]張紙、[1/2]米彩帶。并幫助學(xué)生理解從“量”到“率”的意義，理解[1/2]份的定義，明確無(wú)論1個(gè)蘋果、1張彩紙、1條彩帶，雖然分的物體不同，但都是把1個(gè)物體平均分成2份，得到其中的1份，可以用[1/2]來(lái)表示。反過(guò)來(lái)說(shuō)，[1/2]表示的就是把1個(gè)物體平均分成2份，其中的1份就是這個(gè)物體的[12]。

片斷三：

師：我們已經(jīng)知道了[1/2]可以表示半個(gè)蘋果，那么大家還知道[1/2]可以表示哪些數(shù)量呢？和同桌說(shuō)一說(shuō)。

師：老師也找了一些，你能找到[1/2]張紙嗎？

生：把1張紙對(duì)折，半張就可以表示為[1/2]張。

師：這是一條1米長(zhǎng)的彩帶，你能找到[1/2]米嗎？

生：把1米長(zhǎng)的彩帶平均分成2份，一份就是[1/2]米。

師：同學(xué)們，剛剛我們通過(guò)分一分得到了[1/2]個(gè)蘋果、[1/2]張紙、[1/2]米彩帶，分的物體不同，卻都能用[1/2]來(lái)表示（[1/2]板書），想一想這是為什么？

師：無(wú)論是分1個(gè)蘋果、1張紙，還是1條彩帶，雖然我們分的物體不同，但都是把1個(gè)物體平均分成2份，得到其中的1份，可以用[1/2]來(lái)表示。所以，[1/2]除了表示“半個(gè)”以外，還可以表示把1個(gè)物體平均分成2份，其中的1份就是這個(gè)物體的[12]。

師：通過(guò)學(xué)習(xí)，大家已經(jīng)會(huì)找一個(gè)物體的[1/2]了，下面請(qǐng)大家涂出教材第67頁(yè)圖形的[1/2]。獨(dú)立完成后，同桌之間可以相互交流，看看你們的想法一樣嗎？

隨后，我展示了一個(gè)學(xué)生的作業(yè)，問(wèn)：“誰(shuí)和他的想法完全一樣？誰(shuí)有不同的想法？看看他這樣涂對(duì)不對(duì)？”

師：只要把一個(gè)圖形平均分成2份，給其中的一份涂色就是這個(gè)圖形的[1/2]。

小結(jié)：通過(guò)分一分、涂一涂活動(dòng)，我們知道了把一個(gè)物體或一個(gè)圖形平均分成2份，取其中的1份就是它的[1/2]。

在這節(jié)課中，我主要采用了以下方式表示分?jǐn)?shù)的形式：一是面積模型的表示方式，要求學(xué)生涂出不同圖形的[1/2]，雖然圖形的大?。娣e）不同，但它的[1/2]都表示整個(gè)圖形面積的一半，學(xué)生從中直觀地理解了分?jǐn)?shù)是表示圖形的涂色部分與整個(gè)圖形之間關(guān)系的一個(gè)數(shù)。二是符號(hào)模型的表示方式，分?jǐn)?shù)的概念涉及學(xué)生對(duì)整體與部分之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)，反映的是一種“關(guān)系認(rèn)識(shí)”的思維方式，這種整體與部分的關(guān)系認(rèn)識(shí)又可以分為兩個(gè)層次：第一個(gè)是認(rèn)識(shí)單個(gè)整體與部分的具體關(guān)系；第二個(gè)是認(rèn)識(shí)多個(gè)整體與部分的抽象關(guān)系，即把多個(gè)物體看作一個(gè)抽象整體，把這個(gè)抽象整體平均分成幾份，其中的一份是就這個(gè)抽象整體的幾分之一。

通過(guò)不同形式的表示，學(xué)生了解到了：同樣的事物可以有多種不同的表達(dá)形式，這樣不僅深化了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的認(rèn)識(shí)，還豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。

4.數(shù)形結(jié)合深化理解，發(fā)展數(shù)學(xué)符號(hào)應(yīng)用意識(shí)

符號(hào)意識(shí)是學(xué)習(xí)者在感知、認(rèn)識(shí)、運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)方面所作出的一種主動(dòng)性反應(yīng)，它也是一種積極的心理傾向。

在學(xué)生認(rèn)識(shí)了[1/2]的基礎(chǔ)上，我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生進(jìn)行了“尋找?guī)追种缓蛶追种畮椎摹剿髦谩?，首先為學(xué)生提供了正方形、圓形、長(zhǎng)方形、平行四邊形等不同圖形的學(xué)具，要求學(xué)生折一折、涂一涂找到不同的分?jǐn)?shù)，講一講自己是如何得到這個(gè)分?jǐn)?shù)的，以此加深學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。再讓學(xué)生根據(jù)找到的分?jǐn)?shù)嘗試提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，比如[2/8]是[1/4]嗎，[1/4]和[1/2]誰(shuí)大……

學(xué)生在主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程中，進(jìn)一步加深了對(duì)分?jǐn)?shù)的理解，他們運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表征、推理，有效地發(fā)展的符號(hào)意識(shí)。

總之，數(shù)學(xué)符號(hào)是抽象性、簡(jiǎn)潔性與廣泛應(yīng)用性矛盾的統(tǒng)一，貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程之中。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師必須樹立自覺(jué)發(fā)展兒童符號(hào)意識(shí)的觀念，切忌要求學(xué)生死記硬背數(shù)學(xué)符號(hào)，一定要幫助學(xué)生理清數(shù)學(xué)符號(hào)之間的關(guān)系，及其表達(dá)的數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系，還要關(guān)注學(xué)生的思維能力與心理特點(diǎn)，在潤(rùn)物無(wú)聲中培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，使學(xué)生逐步形成適應(yīng)終身發(fā)展需要的核心素養(yǎng)。

作者單位  陜西省渭南市第一小學(xué)

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