蘇霍姆林斯基曾說(shuō)過(guò)：“兒童的智慧全在他的指尖上。”即“做中學(xué)”，但如果僅將“做”理解為“動(dòng)手操作”的話，難免狹隘。廣義講，學(xué)生親歷一切數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的過(guò)程都是在“做數(shù)學(xué)”。在多年的一線教學(xué)過(guò)程中，筆者從教學(xué)實(shí)踐的角度提出“做數(shù)學(xué)”的操作性概念，在“指尖”數(shù)學(xué)、“口頭”數(shù)學(xué)及“筆尖”數(shù)學(xué)的系列化實(shí)踐中積累了一定經(jīng)驗(yàn)，有效促進(jìn)了學(xué)生學(xué)科思維、跨學(xué)科思維、高階思維、創(chuàng)新思維、行動(dòng)思維和反思思維的提升。

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“筆尖”數(shù)學(xué)，顧名思義指以“動(dòng)筆寫(xiě)作”為主要方式的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，是“口頭”數(shù)學(xué)和“指尖”數(shù)學(xué)的進(jìn)階與補(bǔ)充，屬于“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)的高級(jí)階段。教師熟悉的數(shù)學(xué)日記、數(shù)學(xué)小論文、數(shù)學(xué)作文、思維導(dǎo)圖、畫(huà)數(shù)學(xué)等都可歸入此類。其中，數(shù)學(xué)日記主要應(yīng)用在小學(xué)，以中、高年級(jí)居多，它強(qiáng)調(diào)以日記的形式把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)過(guò)程中的困惑、收獲及思考等記錄下來(lái)。數(shù)學(xué)小論文更適合初、高中學(xué)生，小學(xué)高年級(jí)也偶有采用，它重在以小論文的形式，研究數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中遇到的知識(shí)或用數(shù)學(xué)的方法解決生活中的實(shí)際問(wèn)題。在小學(xué)，數(shù)學(xué)日記和數(shù)學(xué)小論文常以數(shù)學(xué)作文的形式出現(xiàn)。高年級(jí)的“筆尖”數(shù)學(xué)，著力于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)生活與數(shù)學(xué)的連接點(diǎn)，梳理數(shù)學(xué)知識(shí)間的異同點(diǎn)，洞察知識(shí)的本質(zhì)，并理順其邏輯關(guān)系，以寫(xiě)促做，以寫(xiě)促思，鼓勵(lì)學(xué)生像專家那樣運(yùn)用大概念進(jìn)行結(jié)構(gòu)化思考，從而豐富學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的形式，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，拓寬學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育路徑。

 一、“筆尖”數(shù)學(xué)活動(dòng)的實(shí)施路徑

從2018年開(kāi)始，筆者在所帶班級(jí)開(kāi)展了“筆尖”數(shù)學(xué)教學(xué)嘗試，最近兩年共整理學(xué)生作品80余篇，有近20篇發(fā)表在《數(shù)學(xué)大王》《數(shù)學(xué)小靈通》《智力數(shù)學(xué)》等雜志上，逐步摸索了一條“寫(xiě)作—發(fā)表”雙線并行的實(shí)踐路徑。寫(xiě)作是發(fā)表的前提，作品的發(fā)表可以激發(fā)學(xué)生寫(xiě)作的熱情，從而實(shí)現(xiàn)“以發(fā)促寫(xiě)”的良性循環(huán)。

一般而言，小學(xué)生的數(shù)學(xué)寫(xiě)作與語(yǔ)文類似，大致會(huì)經(jīng)歷選題、構(gòu)思、撰寫(xiě)初稿、修改、定稿等五個(gè)環(huán)節(jié)。數(shù)學(xué)寫(xiě)作更注重用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，即更強(qiáng)調(diào)理性思維。其中，選題是所有環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)，好的選題可以起到事半功倍的效果，文章通常按照“敘述+議論”的方式展開(kāi)，完成初稿后進(jìn)一步修改，一般先由學(xué)生對(duì)文中的錯(cuò)別字、標(biāo)點(diǎn)及語(yǔ)句等進(jìn)行自改或生生互改，必要時(shí)由教師或家長(zhǎng)結(jié)合文章論述邏輯、立意等進(jìn)一步指導(dǎo)，最后交學(xué)生修改定稿。在整個(gè)過(guò)程中，教師和家長(zhǎng)要到位而不越位，既要適時(shí)對(duì)寫(xiě)作困難學(xué)生加以指導(dǎo)及引領(lǐng)，又不能越俎代庖。定稿后就要考慮發(fā)表了，即公開(kāi)展示作品。教師可以根據(jù)文章質(zhì)量采取班級(jí)群定期推送、張貼至班級(jí)“數(shù)學(xué)角”、收入“筆尖”數(shù)學(xué)成果集、擇優(yōu)投稿相關(guān)雜志發(fā)表，以及召開(kāi)不同范圍的成果發(fā)布會(huì)等方式，讓各個(gè)層級(jí)的作品都有展示的平臺(tái)，力爭(zhēng)使人人有作品、人人可發(fā)表。另外，發(fā)表的作品隨時(shí)可能進(jìn)入下一輪修改的環(huán)節(jié)，以促使其不斷完善。需要說(shuō)明的是，各環(huán)節(jié)并非一成不變、線性推進(jìn)的，而是根據(jù)學(xué)生及作品的實(shí)際情況合理增減和取舍，修改過(guò)程也就成為發(fā)展學(xué)生學(xué)科思維的良好契機(jī)。

為了提高“筆尖”數(shù)學(xué)活動(dòng)的教育效果，教師具體實(shí)施時(shí)須立足學(xué)生實(shí)際，遵從面向全體與部分推優(yōu)相結(jié)合的原則，發(fā)揮“榜樣”示范作用；堅(jiān)持統(tǒng)一命題與自主選題相結(jié)合的原則，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主觀能動(dòng)性；落實(shí)學(xué)生主體與家校合力相結(jié)合的原則，促使學(xué)生素養(yǎng)拔節(jié)。

二、“筆尖”數(shù)學(xué)選題指導(dǎo)實(shí)踐

高年級(jí)“筆尖”數(shù)學(xué)的選題要在堅(jiān)守學(xué)科屬性的基礎(chǔ)上，突破僅僅記錄數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的低級(jí)階段，突出“數(shù)學(xué)眼光”“數(shù)學(xué)思維”和“數(shù)學(xué)表達(dá)”，既要關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)所遇數(shù)學(xué)問(wèn)題的深入思考，又要重視學(xué)生對(duì)生活問(wèn)題的思考和表達(dá)。

1.數(shù)學(xué)問(wèn)題的再思考

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中會(huì)遇到很多需要進(jìn)一步探究和思考的問(wèn)題，這些問(wèn)題一方面源于教材或相關(guān)拓展，另一方面離不開(kāi)課外學(xué)習(xí)。因此，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)所見(jiàn)進(jìn)行深入思考并嘗試寫(xiě)作，這樣學(xué)生就能慢慢學(xué)會(huì)尋找寫(xiě)作素材。

（1）教材上的思考題、實(shí)踐活動(dòng)等大都可以成為絕佳的寫(xiě)作素材。例如，在講授六年級(jí)“圓柱和圓錐”一課后，北師大版教材第15頁(yè)有一個(gè)“用六張長(zhǎng)16cm，寬4cm的長(zhǎng)方形紙”卷圓柱的實(shí)踐活動(dòng)。筆者在組織學(xué)生充分活動(dòng)之后，引導(dǎo)學(xué)生選擇不同切入點(diǎn)完成寫(xiě)作，學(xué)生表現(xiàn)出極大的積極性。其中李同學(xué)發(fā)現(xiàn)“圓柱體的底面半徑擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，高縮小為原來(lái)的[12]，變化后圓柱體的體積擴(kuò)大為原來(lái)的2倍”，并推測(cè)“如果這張長(zhǎng)16cm，寬4cm的長(zhǎng)方形紙如此不斷剪開(kāi)、拼接，所卷成的圓柱體的體積將不斷增大”。面對(duì)這張小小的長(zhǎng)方形紙，他在文末發(fā)出“感覺(jué)就像捧著一個(gè)世界”的感慨，這篇《一張不可思議的紙——“探究圓柱奧秘”實(shí)踐活動(dòng)》發(fā)表在2020年《智力數(shù)學(xué)》第11期。張同學(xué)以《善思辟“蹊徑”》為題，圍繞“如果一張A4紙最多剪一刀（沿直線），能拼接出多少種圓柱體？體積又是多少？”進(jìn)行探究，通過(guò)對(duì)圍出的8種圓柱體的體積計(jì)算得出“用同一張紙做圓柱，側(cè)面積相等的情況下，底面周長(zhǎng)越大，高越小，體積越大”的結(jié)論，并嘗試用代數(shù)的方式對(duì)其進(jìn)行證明，發(fā)表在2021年《數(shù)學(xué)大王》第09期。

（2）教師對(duì)教材內(nèi)容的適度拓展也能激發(fā)學(xué)生寫(xiě)作的熱情。例如，在講授北師大版四年級(jí)《除法》單元后，筆者引發(fā)學(xué)生質(zhì)疑“除法豎式一般從高位除起，能否從低位除起”，學(xué)生興趣盎然，展開(kāi)深入討論后，明確四則運(yùn)算應(yīng)“雙向可行”，即整數(shù)除法豎式既可以從高位除起，也可以從低位除起，但由于求簡(jiǎn)使得人們規(guī)定除法豎式從高位除起。豆同學(xué)據(jù)此寫(xiě)出《除法，也可以從低位算起》一文，頗受編輯老師推崇，很快發(fā)表在2022年《數(shù)學(xué)大王》第06期。

（3）課外學(xué)生感興趣的數(shù)學(xué)內(nèi)容也可以成為寫(xiě)作的素材。例如，劉同學(xué)對(duì)“三階幻方”情有獨(dú)鐘，他將與爸爸玩“三階幻方”，以及思考的過(guò)程寫(xiě)出《三階幻方的奧秘》一文，發(fā)表在2022年《數(shù)學(xué)大王》第06期，文章結(jié)尾“在以后的學(xué)習(xí)中，我要更加努力，刻苦鉆研，探索更多的數(shù)學(xué)奧秘”讓人感同身受。宋同學(xué)通過(guò)《我用方程讀古詩(shī)》一文，記敘了自己課外閱讀時(shí)用方程解決“古詩(shī)謎題”的嘗試，發(fā)表在2023年《智力數(shù)學(xué)》第06期，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)“詩(shī)意”的一面。

2.生活問(wèn)題的數(shù)學(xué)視角

（1）用數(shù)學(xué)的眼光看生活。“疫情”期間，被困陜西師范大學(xué)校園的學(xué)生常常在操場(chǎng)“走圈”，王同學(xué)與媽媽在鍛煉時(shí)發(fā)現(xiàn)了“相遇”問(wèn)題，寫(xiě)成《走路中的“數(shù)學(xué)”》一文，發(fā)表在2023年《數(shù)學(xué)小靈通》第01期。張同學(xué)看到大家鐘情于抽盲盒，思考后結(jié)合親身經(jīng)歷構(gòu)思完成《盲盒里的“概率”》一文，從小學(xué)生的視角運(yùn)用分?jǐn)?shù)揭示了盲盒背后的玄機(jī)，發(fā)表在2022年《數(shù)學(xué)小靈通》第7-8期。另一位王同學(xué)是個(gè)足球愛(ài)好者，他運(yùn)用“三角形內(nèi)角和”知識(shí)分析了“為什么球離球門(mén)越近，越容易射門(mén)”的問(wèn)題，寫(xiě)出《帶著“數(shù)學(xué)”踢足球》一文，發(fā)表在2022年《數(shù)學(xué)小靈通》第04期。

（2）用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活問(wèn)題。為了測(cè)量家門(mén)口大樹(shù)的高度，趙同學(xué)在媽媽的幫助下，與弟弟一起利用三角尺（結(jié)合相似原理）巧妙測(cè)量，最終寫(xiě)出《小三角尺的大本領(lǐng)》一文，讓人不禁感嘆：小小三角尺竟然有這么“大”的用處，該文發(fā)表在2022年《數(shù)學(xué)大王》第04期。

3.用童話表達(dá)數(shù)學(xué)

兒童是天生的童話大王，用童話的方式表達(dá)數(shù)學(xué)中的概念、原理、思想、方法等，可以讓數(shù)學(xué)煥發(fā)別樣的魅力。例如，學(xué)習(xí)了“神奇的計(jì)算工具”后，學(xué)生對(duì)計(jì)算器及古代計(jì)數(shù)方式產(chǎn)生了濃厚的興趣。謝同學(xué)在《跨越千年的PK》一文中讓石子、骨頭、繩子（對(duì)應(yīng)古代石子、刻痕和結(jié)繩計(jì)數(shù)）與現(xiàn)代計(jì)算工具計(jì)算器相遇，演繹了一場(chǎng)從彼此不服到相互欣賞的感人故事，揭示了“尺有所短，寸有所長(zhǎng)”“江山代有才人出”的哲理。因濃厚的文學(xué)味，最終發(fā)表在2022年《作文大王》第04期。高同學(xué)發(fā)表在2023年《數(shù)學(xué)大王》第03期的數(shù)學(xué)童話《“小計(jì)”找工作》，則通過(guò)計(jì)算器“小計(jì)”夢(mèng)中找工作，并一路幫助別人解決計(jì)算難題的經(jīng)歷，詮釋了“天生我材必有用”的深刻道理。

總之，“筆尖”數(shù)學(xué)的實(shí)踐為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打開(kāi)了一扇窗，在核心素養(yǎng)時(shí)代展現(xiàn)出了蓬勃的生命力，受到了學(xué)生的歡迎。寫(xiě)是做和思的進(jìn)階，只有做得扎實(shí)，思得透徹，才會(huì)寫(xiě)得深刻。因此，寫(xiě)就是學(xué)生與數(shù)學(xué)對(duì)話、與生活對(duì)話、與自己對(duì)話的過(guò)程，而思則貫穿這一過(guò)程的始終。它需要學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)，像專家那樣結(jié)構(gòu)化地思考問(wèn)題，從而讓思維之花在“筆尖”悄然綻放。

作者單位   陜西師范大學(xué)附屬小學(xué)

責(zé)任編輯：張言