現(xiàn)代數(shù)學主要研究的是數(shù)量關系和空間形式，數(shù)形結合思想就是把兩者聯(lián)系起來，相互描述分析的一個思想方法。數(shù)是抽象的，形是形象的，數(shù)形結合思想能夠將抽象關系形象化，更利于理解和掌握。函數(shù)是數(shù)形結合思想的一個體現(xiàn)，初中數(shù)學主要介紹了函數(shù)基本概念、一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)和三角函數(shù)等，是學生日常學習及升學考試的重難點。因此，如何更好地運用數(shù)形結合思想開展教學，幫助學生理解和掌握函數(shù)知識，為學生后續(xù)學習打好基礎是教師值得思考的問題。

一、數(shù)形結合思想在初中函數(shù)教學中的體現(xiàn)

函數(shù)是數(shù)學的基礎，新課程標準實施以來，學生自初中開始系統(tǒng)地學習函數(shù)。函數(shù)無論是抽象度還是理解度都上了一層樓，很多學生開始學習時都摸不著頭腦。歸根結底，是因為函數(shù)概念太過抽象。除函數(shù)基礎概念外，一些具體函數(shù)如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)和三角函數(shù)等，都兼具數(shù)量關系和空間關系兩個特點。因此，函數(shù)本身是數(shù)形結合的統(tǒng)一，這為數(shù)形結合思想教學奠定的基礎。

以一次函數(shù)為例，數(shù)量關系表達式為[y=a+bx，ab]的符號可能同時為正或為負、一負一正或一正一負。從數(shù)量表達方式看，它們差異不大，但在圖形表達上，[a]正[b]負，經過一、二、四象限；ab同時為正，則一次函數(shù)經過一、二、三象限；[ab]同時為負，則經過二、三、四象限，[a]負[b]正，則經過一、三、四象限。又如二次函數(shù)，有三個變量同時影響函數(shù)結果，不畫圖只計算數(shù)量關系，計算量非常大，且難以發(fā)現(xiàn)函數(shù)變化的規(guī)律，結合圖形學生就很容易總結出[y=ax2+bx+c]中[c]決定了拋物線與y軸的交點，[a]的正負號決定了函數(shù)的開口方向，[a]和[b]會影響對稱軸的位置等知識點。

除了基本圖形以外，數(shù)形結合思想對學生理解函數(shù)的性質也有著重要的作用。例如學習函數(shù)的定義域、單調性時，學生只觀察一次函數(shù)表達式[y=ax+b]，難以直接得出結論，而畫圖后就能很容易看出函數(shù)的定義域，即x的取值范圍是無限的；再如學習分段函數(shù)時，學生通過觀察表達式難以確定單調性，但畫圖后就一目了然。

數(shù)形結合思想融入函數(shù)教學的理論基礎是建構主義理論和表征理論。建構主義理論認為，個人的學習是一個基于原有基礎，吸收新知識和構建知識體系的過程，任何知識都不可能是憑空掌握的，都是由淺及深、由易到難的過程。從這個意義上講，圖象是學生已經掌握的基礎知識，函數(shù)表達式是新知識，從圖象認識表達式，既符合建構主義理論主張，又符合常人對數(shù)學學習的感知。表征理論認為，人們的學習對象總會以某種形式外在呈現(xiàn)出來，如函數(shù)的對應關系是自變量和因變量的對應關系，其需要通過一個數(shù)學表達式或函數(shù)圖象的形式來表現(xiàn)。初中函數(shù)內容比較基礎，可以用圖象和表達式表達函數(shù)關系。

綜上所述，教師在教學中要引導學生正確認識數(shù)量和圖形之間的關系。雖然數(shù)形結合思想對函數(shù)教學非常重要，但函數(shù)關系抽象，理解難度大，圖形只能起輔助作用。

二、數(shù)形結合思想在初中函數(shù)教學應用時存在的問題

1.學生的掌握程度有待提升

初中數(shù)學進入函數(shù)以后，無論是知識量還是難度都明顯地上升了一個層次，不再是簡單的運算或幾何圖形描述了，而是引入了更多抽象概念，讓學生探索數(shù)量關系和空間關系的規(guī)律。部分學生剛剛接觸函數(shù)時不知如何入手，對圖像表達函數(shù)關系式的方法理解比較困難，接受程度不高。有的學生只是死記硬背函數(shù)圖象，做題時一籌莫展。如果這一瓶頸期持續(xù)過久，將會影響學生學習的積極性，打擊學生的學習信心，導致部分學生的數(shù)學成績在學習函數(shù)后有了顯著的下滑。究其原因，表面上是學生對函數(shù)概念沒有掌握好，實際上是學生缺少一個良好的學習方法，他們對數(shù)形結合思想陌生、不接受，或接受了不會使用。有些學生雖較好地掌握了數(shù)形結合思想，但解決實際問題時還是靠記憶或復雜的數(shù)量推導，學生主動使用圖形輔助分析理解問題的能力有待加強。

2.教師的教學方法有待改善

初中數(shù)學教師普遍認為，函數(shù)在初中數(shù)學知識體系中占據(jù)著重要的位置，在升學考試中的分值占比高、難度大。大多數(shù)教師認為，函數(shù)教學不能照本宣科，要應用數(shù)形結合思想，利用圖形輔助學生理解數(shù)量關系。但實際教學中，在如何引入圖形、將圖形與數(shù)量關系相結合的問題上，部分教師缺乏良好的教學方法，有的直接把圖形畫出來，讓學生機械記憶，導致學生存在不求甚解、死記硬背的問題。有的忽視了學生對數(shù)形結合思想的接受、理解及應用能力，只以學生解出題目為教學目標，這種填鴨式教學方法導致相當一部分學生對數(shù)形結合思想難以理解、難以接受。

3.缺少科學高效的練習

數(shù)形結合思想重在理解和應用，只靠教師課堂講授是遠遠不夠的，學生還要進行一系列科學、高效的練習，以鞏固函數(shù)理論知識，提高解題能力。但從實踐來看，不只是學習函數(shù)，整個初中階段的數(shù)學學習，不少學生科學高效地練習少，雖然做了不少題，但只圍繞幾個知識點進行，使用數(shù)形結合思想解決的問題少，日常練習不到位，上了考場就會暴露短板。究其原因，主要有兩個方面。一是教輔材料選題和編排質量不一，部分教輔材料題目設置隨意，沒有根據(jù)學生的學習規(guī)律由淺及深地引導學生練習函數(shù)；二是教師布置練習題時缺乏整體考慮，沒有針對學生的薄弱點有的放矢地選取習題。

4.學習總結和反思不到位

數(shù)學學習是一個總結、反思和提高的過程，但是從實踐來看，大多數(shù)學生沒有養(yǎng)成總結和反思的習慣，特別是九年級學生在學習二次函數(shù)時，由于臨近升學考試，學生更多的是求快，囫圇吞棗，只按照升學考試方向做習題，認為沒有必要總結和反思，學習的知識不夠牢固，題目一變就不會算了。加之，數(shù)形結合思想本身有一定難度，在初中函數(shù)學習中，學生如果缺乏必要的總結，難以使知識體系化，不利于應用解題。

三、數(shù)形結合思想在函數(shù)教學中應用的對策

1.培養(yǎng)學生的學習興趣

興趣是最好的老師。在函數(shù)教學過程中，教師可以引入具體例子。例如，商場的打折促銷活動：購買額在500元以下不打折，501—1000元以內超額部分打8折，1000元以上超額部分打6折。這是一個分段函數(shù)問題，教師可以讓學生畫出分段函數(shù)圖形，觀察其中的數(shù)量關系，并計算實際購買額為800元時，應該支付多少錢。又如，講授二次函數(shù)與一次函數(shù)交點問題時，教師也可以讓學生先畫圖形，大致判斷交點的位置，再用公式計算驗證。如果學生計算出的結果與圖形推斷結果一致，就會增強學生對數(shù)形結合方法使用的信心。同時，學生也要端正學習態(tài)度，函數(shù)學習不是一蹴而就的，特別是與之前的知識點相比，函數(shù)理論性更強、更抽象，學習初期難免會遇到一定問題，但數(shù)學學習本身就不是一帆風順的，學習本身也是自我突破、自我超越的過程，學生要克服畏難情緒，不能避重就輕，遇到問題要端正態(tài)度，積極向老師和同學請教，更好地理解數(shù)形結合思想，提高學習效率和學習成績。

2.優(yōu)化數(shù)形結合思想教學方法

教師要立足于函數(shù)教學實踐，分析和總結學生對數(shù)形結合思想接受難、成績一般的內在原因，并積極調整和改進教學方法。以二次函數(shù)y=[ax2+bx+c]為例，新課標列出的教學目標包括三個層次，一是了解二次函數(shù)的圖像形式，即拋物線的相關概念，并能夠自主繪制拋物線，掌握二次函數(shù)性質；二是讓學生體會數(shù)形結合思想；三是培養(yǎng)學生的動手能力、合作精神等。教師可以帶領學生先復習函數(shù)的基本概念、一次函數(shù)和正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的公式和圖像，讓學生“溫習”數(shù)形結合思想，重點回顧“描點法”，即繪制一次函數(shù)直線的過程。復習完一次函數(shù)后，教師可以給出二次函數(shù)的幾個點[（x，y）]，讓學生使用描點法嘗試繪制二次函數(shù)圖像。通過描點法繪制二次函數(shù)圖像，學生更容易接受二次函數(shù)的概念和圖象。此時，教師可以改變a的符號，讓學生再嘗試繪制。繪制過程中，學生發(fā)現(xiàn)[a]由正變成負數(shù)后，二次函數(shù)圖像的開口從向上變成了向下，便自主地得出了結論：[a]系數(shù)為正，二次函數(shù)拋物線開口向上，[a]系數(shù)為負，二次函數(shù)拋物線開口向下。正是由于學生全程參與了二次函數(shù)圖象的繪制，他們才能對函數(shù)圖象的特征掌握得“順理成章”，在解決問題時才能記得住、記得對、用得好。對于[a]系數(shù)的擴大或縮小，例如[a=12、a=2、a=4]等變化，教師同樣可以讓學生在課堂上使用描點法畫出圖象，觀察對比后得出結論。

在完成上述教學過程后，教師要引導學生通過總結數(shù)形結合方法歸納得出的二次函數(shù)的特征。例如，在解決“已知拋物線[y=3x2+6x+9]，拋物線的開頭是向上還是向下？對稱軸是在[y]軸左側還是右側？拋物線與[x]軸、[y]軸的交點是哪個”這些問題時如果學生還未能迅速反應過來，教師可以留作業(yè)，請學生逐個畫圖得出答案。反復練習，增強學習記憶，提高學習效果。學生基本掌握二次函數(shù)拋物線特征以后，教師可以引導學生觀察拋物線并思考問題：“拋物線上總是有個最高（最低）點，這個點和對稱軸有什么關系？”學生通過觀察圖像，結合數(shù)量關系很快就會得出結論：極值點一定位于對稱軸上。在完成上述教學環(huán)節(jié)之后，學生對二次函數(shù)已經有了比較全面的認識，此刻再加入練習題，就能起到很好的鞏固作用。

3.開展科學高效的習題訓練

數(shù)學學習是一個“知、懂、會、熟、巧”的過程。學生學習初中函數(shù)數(shù)形結合思想時，不能僅停留在最基本的“知”和“懂”的層次，還要在“會”用理論知識的基礎上，熟練解決問題、巧用理論快速解題，這些是建立在必要的習題訓練的基礎上的。因此，教師在選擇習題時要注重三個方面的內容。一是要以課程標準為基礎，不追求超綱的偏、難、怪習題，要注重基礎知識的訓練。當學生熟練掌握了函數(shù)的基本概念、基本性質后，教師可以安排一些稍微復雜、抽象的習題，啟發(fā)學生的研究思維、發(fā)散思維和創(chuàng)新思維；二是要由簡單到復雜地選擇習題，逐漸提高習題的難度，讓學生根據(jù)數(shù)形結合思想思考一些更為復雜的問題，切實提高學生解決問題的能力；三是習題要貼近升學考試習題，以此提高學生的應試能力。

4.培養(yǎng)學生的思考總結能力

在教學過程中，教師應當引導學生思考、總結數(shù)形結合思想在函數(shù)中的應用，具體包括三個部分。一是針對函數(shù)基本概念類考題，教師可以要求學生畫出函數(shù)的大致圖像，觀察總結函數(shù)的基本特征。如一次函數(shù)a系數(shù)的正負號，對直線方向的影響；[ab]系數(shù)的正負性決定函數(shù)圖象經過的象限；反比例函數(shù)[k]的正負對曲線位置的影響；二次函數(shù)系數(shù)[ab]決定對稱軸的位置等。這類考題比較基礎，但學生需要畫出函數(shù)圖象的大致位置才能準確判斷。二是針對函數(shù)性質類考題，如二次函數(shù)的極值問題，讓學生通過畫圖大致判斷極值位置，再利用數(shù)量公式加以驗證，如果圖象位置和計算結果不同，那么說明有一個判斷是錯誤的。三是針對函數(shù)應用問題，如單價隨數(shù)量變化而變化，求總價最低的問題。其本質是二次函數(shù)問題，學生只需計算得出二次函數(shù)的表達式[：y=ax2+bx+c]后，求出極值即可。

在教學過程中，教師還要引導學生反思自己在學習函數(shù)的過程中存在的問題。例如，學習一次函數(shù)時，求解直線與坐標軸的交點，學生如果使用公式計算，容易因為符號問題計算錯誤，但如果先畫出大致圖形，就可以規(guī)避符號計算錯誤的問題，就能提高做題準確率。

5.善于使用多媒體教學

數(shù)形結合思想除了以“形”表“數(shù)”外，還有一個作用就是將數(shù)量關系的變化通過圖形變化體現(xiàn)出來。例如，解決二次函數(shù)[y=2x2+4x+6]這一問題時，當[a]從2變?yōu)閇12]時，拋物線開口會擴大，但對于學生而言，擴大的過程及幅度始終沒有一個清晰直觀的概念。如果僅憑教師在黑板上畫圖，就會導致教學效率低，且難以形象地表達拋物線的變化過程。因此，有條件的學?？梢蕴剿魇褂枚嗝襟w教學，教師可以利用數(shù)學教學軟件和多媒體設備將函數(shù)圖象變動過程清晰直觀地展現(xiàn)出來，讓學生更好地理解。

總之，數(shù)形結合思想在初中數(shù)學函數(shù)部分的應用非常典型。當前，數(shù)形結合思想的應用還存在一些問題，筆者在本文中有針對性地給出了具體的應用方法和解決建議，包括培養(yǎng)學生的學習興趣，優(yōu)化數(shù)形結合思想教學方法，開展科學高效的習題訓練和培養(yǎng)學生思考總結能力等，相信筆者的研究對初中數(shù)學教師提高函數(shù)數(shù)形結合教學效果具有一定的借鑒意義。

作者單位   陜西省潼關縣城關第二初級中學

責任編輯：張言