分類(lèi)討論思想是針對(duì)具有一般邏輯性、綜合性和探究性較強(qiáng)問(wèn)題，以分類(lèi)討論的形式，解決問(wèn)題的思想。教師在授課中滲透分類(lèi)討論思想，可以“化繁就簡(jiǎn)、化難為易”，幫助學(xué)生深入理解抽象的數(shù)學(xué)理論知識(shí)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，發(fā)展學(xué)生的思維能力是促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)步的有力手段。在教學(xué)中滲透分類(lèi)討論思想，有利于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維，拓寬學(xué)生的認(rèn)知領(lǐng)域，促進(jìn)其綜合素質(zhì)發(fā)展。目前，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中存在教師忽視培養(yǎng)學(xué)生思維能力的問(wèn)題，原因是在應(yīng)試教育理念影響之下，教師過(guò)度看重習(xí)題教學(xué)而忽視思想培養(yǎng)。所以，教師應(yīng)當(dāng)依據(jù)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的異同，科學(xué)滲透分類(lèi)討論思想，鼓勵(lì)學(xué)生分類(lèi)研究和解題，以提高學(xué)生思維的條理性和嚴(yán)謹(jǐn)性。在初中數(shù)學(xué)課程中滲透分類(lèi)討論思想，能夠讓學(xué)生的思維得到鍛煉，有利于降低抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)難度，讓學(xué)生可以針對(duì)各種研究對(duì)象，以分類(lèi)的形式討論問(wèn)題，使之能夠在發(fā)散思維的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)進(jìn)步和思維發(fā)展。分類(lèi)源于實(shí)際生活，是一種基本邏輯方法，能夠幫助學(xué)生將抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀(guān)呈現(xiàn)出來(lái)。因此，教師要重視學(xué)生分類(lèi)討論思想的培養(yǎng)，積極創(chuàng)新教學(xué)方式，為分類(lèi)討論思想的滲透提供切入點(diǎn)，不斷提高數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)效。

一、分類(lèi)討論思想概述

（一）基本概念

問(wèn)題的求解途徑及其轉(zhuǎn)化方法是相對(duì)統(tǒng)一的，按照問(wèn)題性質(zhì)及其處理方法，把需要探討的問(wèn)題分為若干類(lèi)，然后轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問(wèn)題并加以處理，從而逐個(gè)展開(kāi)探討，這就是分類(lèi)討論思想。由于數(shù)學(xué)分析的方法也有其自然形成的環(huán)境，因此數(shù)學(xué)分析手段的范圍是相對(duì)比較固定的，當(dāng)學(xué)生面臨數(shù)學(xué)分析困難的情況時(shí)，其無(wú)法采用常規(guī)的方式進(jìn)行解決，因此，利用分類(lèi)討論思想就可以將數(shù)學(xué)問(wèn)題按照“每級(jí)分類(lèi)、同標(biāo)準(zhǔn)劃分”的方式進(jìn)行分類(lèi)，循序漸進(jìn)地進(jìn)行求解，這種解決方法便是分類(lèi)討論。

（二）分類(lèi)原則

分類(lèi)討論思想在實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程中，需要遵循以下四項(xiàng)原則。第一，同一性原則。我們按照統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，將問(wèn)題進(jìn)行劃分。比如：在三角形分類(lèi)中，如果將三角形單純分為銳角、直角、鈍角、不等邊、等腰三角形，這種分類(lèi)不符合同一性原則要求，原因是分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)要具有同一性。第二，相稱(chēng)性原則。即確保分類(lèi)相稱(chēng)，在問(wèn)題劃分后，外延的子問(wèn)題要與原問(wèn)題相同。第三，互斥性原則。要保證分類(lèi)后的每個(gè)子問(wèn)題之間互相排斥，避免影響正常解題思路。第四，層次性原則。指按照一次分類(lèi)與多次分類(lèi)相結(jié)合的方式進(jìn)行討論。一次分類(lèi)是指一次性分類(lèi)討論問(wèn)題，多次分類(lèi)是將分類(lèi)后的子問(wèn)題視作母項(xiàng)，據(jù)此再進(jìn)行分類(lèi)，直至滿(mǎn)足解題需要為止。

（三）討論類(lèi)型

在初中數(shù)學(xué)中，分類(lèi)討論主要有以下三種類(lèi)型。首先，“數(shù)、式”的分類(lèi)討論。具體包括實(shí)數(shù)分類(lèi)、絕對(duì)值、算術(shù)平方根、函數(shù)及圖像、函數(shù)增減性、函數(shù)變量取值范圍、含參方程、待定參數(shù)的變化范圍、含參不等式等。

其次，“三角形”的分類(lèi)討論。其中，又細(xì)分為三大領(lǐng)域，領(lǐng)域一：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形、等腰三角形中，與角、邊、高有關(guān)的分類(lèi)討論。領(lǐng)域二：直角三角形問(wèn)題中，未告知直角邊、斜邊的，這種問(wèn)題需要結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行討論。在無(wú)法確定直角的情況下，相關(guān)問(wèn)題需要先進(jìn)行分類(lèi)討論，再求解。領(lǐng)域三：在相似三角形中，對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角不確定的兩種情況，也需要分類(lèi)進(jìn)行討論。

最后，“圓”的分類(lèi)討論。其中，涵蓋點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系、兩弦與直徑的位置關(guān)系、弦所對(duì)弧的優(yōu)劣性質(zhì)。

（四）討論步驟

初中數(shù)學(xué)分類(lèi)討論的基本步驟如下：第一，確定分類(lèi)討論的對(duì)象，并分析討論對(duì)象的取值范圍。第二，根據(jù)相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)討論對(duì)象進(jìn)行合理分類(lèi)。第三，根據(jù)具體的步驟對(duì)討論對(duì)象進(jìn)行論述，逐步解決分類(lèi)討論問(wèn)題。第四，對(duì)討論內(nèi)容進(jìn)行對(duì)標(biāo)，并整理出結(jié)論。

二、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問(wèn)題

（一）教學(xué)模式相對(duì)落后

就初中生而言，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)對(duì)綜合學(xué)習(xí)情況有直接影響，一些教師為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)，選擇“滿(mǎn)堂灌”的教學(xué)模式，導(dǎo)致學(xué)生的探究熱情很難被激發(fā)，在被動(dòng)學(xué)習(xí)中形成消極的固化思維。在相對(duì)落后的教學(xué)模式中，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)雖然有所提升，但是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的了解和掌握并不充分，這不利于他們進(jìn)行高階知識(shí)的學(xué)習(xí)，甚至?xí)绊懫鋽?shù)學(xué)思維的進(jìn)一步發(fā)展。

（二）教學(xué)準(zhǔn)備工作不足

教學(xué)準(zhǔn)備工作是決定教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵因素，一些教師往往只注重?cái)?shù)學(xué)公式、性質(zhì)、定理的應(yīng)用，在備課環(huán)節(jié)未能著眼于學(xué)生的思維發(fā)展來(lái)設(shè)計(jì)教案，導(dǎo)致教學(xué)準(zhǔn)備工作不足，很難幫助學(xué)生鞏固學(xué)習(xí)成果，不能有效培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和解決問(wèn)題能力。

（三）教學(xué)缺少情感交流

初中階段學(xué)生正處于思維發(fā)展與身心成長(zhǎng)階段，一些教師在教學(xué)過(guò)程中，只關(guān)注學(xué)生的成績(jī)，未能重視學(xué)生的思維以及心理發(fā)展變化，導(dǎo)致師生之間缺乏互動(dòng)，很難促進(jìn)教學(xué)相長(zhǎng)。教師與學(xué)生的互動(dòng)交流減少，會(huì)直接影響課堂教學(xué)氛圍，進(jìn)而導(dǎo)致學(xué)生難以提起與教師主動(dòng)溝通的欲望，不利于其個(gè)性發(fā)展。

（四）合作教學(xué)流于形式

小組合作學(xué)習(xí)是培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)意識(shí)和提高學(xué)習(xí)積極性的重要手段，但在具體的實(shí)施環(huán)節(jié)，一些教師未能注重強(qiáng)化引導(dǎo)，導(dǎo)致小組合作學(xué)習(xí)實(shí)效性降低。由于部分初中生缺乏良好的自控能力，其在學(xué)習(xí)中會(huì)產(chǎn)生依賴(lài)性，甚至?xí)纬梢蕾?lài)性人格，這一點(diǎn)使小組合作教學(xué)流于形式。長(zhǎng)此以往，課堂教學(xué)氛圍看似熱鬧，學(xué)生卻無(wú)法形成良好的思維品質(zhì)，不利于促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量提升。

三、分類(lèi)討論思想在教學(xué)中的滲透意義

（一）提高解題的效率與正確率

分類(lèi)討論思想能夠幫助初中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，綜合考量各種問(wèn)題情況，從而進(jìn)行合理的分析與討論，把握正確解題方向，抓住重點(diǎn)因素進(jìn)行分析和論證，深入考慮問(wèn)題可能包含的多種情況，由此提高解題的正確率與效率。在應(yīng)用分類(lèi)討論思想的過(guò)程中，教師指導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分類(lèi)和二次研究，甚至能夠在論證、整合探究知識(shí)的過(guò)程中，增強(qiáng)抽象邏輯思維能力。由于初中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容相對(duì)復(fù)雜、抽象，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，會(huì)面臨較大阻礙。因此，在教學(xué)中教師要滲透分類(lèi)討論思想，提升學(xué)生的抽象思維能力，使之能夠在教師的指導(dǎo)下分類(lèi)討論問(wèn)題，這有利于提升學(xué)生學(xué)習(xí)探究的精準(zhǔn)度，促使其高效解決日常生活中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

（二）提升思維品質(zhì)與綜合能力

分類(lèi)討論思想常用于解決概念、法則、定理問(wèn)題當(dāng)中，教師科學(xué)滲透分類(lèi)討論思想，能夠?yàn)檎n堂注入活力，讓學(xué)生積極主動(dòng)思考，使之學(xué)習(xí)思考更具層次性、邏輯性。在分類(lèi)討論的過(guò)程中，初中生可以自覺(jué)形成清晰、明確思路，促進(jìn)思維品質(zhì)提升，也能夠結(jié)合具體情況來(lái)進(jìn)行探討，明確自我學(xué)習(xí)狀況，結(jié)合問(wèn)題來(lái)進(jìn)行分類(lèi)討論，逐步運(yùn)用所學(xué)知識(shí)快速、有效地解題，促進(jìn)思維成長(zhǎng)的同時(shí)，提高數(shù)學(xué)綜合學(xué)習(xí)能力。

四、分類(lèi)討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透策略

（一）概念學(xué)習(xí)，培養(yǎng)分類(lèi)討論意識(shí)

分類(lèi)討論思想可以幫助學(xué)生提高問(wèn)題分析意識(shí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提升。教師要認(rèn)識(shí)到培養(yǎng)學(xué)生分類(lèi)討論思想的重要性，結(jié)合數(shù)學(xué)教材概念知識(shí)，創(chuàng)設(shè)能夠引發(fā)學(xué)生思考的情境，科學(xué)滲透分類(lèi)討論思想，讓學(xué)生在情境中討論，不斷啟發(fā)和誘導(dǎo)學(xué)生，逐步在學(xué)生學(xué)習(xí)概念的過(guò)程中，促進(jìn)其思維品質(zhì)的提升，讓其能夠明確分類(lèi)討論思想本質(zhì)，形成優(yōu)秀的分類(lèi)討論意識(shí)。

例如，在講解華師大版初中數(shù)學(xué)“一元二次方程”內(nèi)容的過(guò)程中，首先，對(duì)于一元二次方程一般式中涉及“ [α≠0]”的規(guī)定，教師要引導(dǎo)學(xué)生分析“[α=0]”與“[α≠0]”情況下，一元二次方程的變化，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中形成良好的分類(lèi)討論意識(shí)，并明確關(guān)于[x]的一元二次方程的限制條件。然后，教師要隱藏“一元二次”四字，引導(dǎo)學(xué)生自主分析方程“[mx-（m-1）x-2（3m-1）=0]”

性質(zhì)以及求解方法。讓學(xué)生分析經(jīng)過(guò)變形的“概念式”，歷經(jīng)對(duì)概念中關(guān)鍵字詞及補(bǔ)充條件的理解過(guò)程，分“[α=0]”與“[α≠0]”兩種情況進(jìn)行討論，以理解一元二次方程概念。最后，教師要揭示分類(lèi)討論本質(zhì)，有序、有目的地滲透分類(lèi)討論思想，讓學(xué)生自主建構(gòu)一元一次方程概念知識(shí)，提高分類(lèi)討論意識(shí)。在此基礎(chǔ)上，教師要結(jié)合問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生列一元一次方程并嘗試求解，學(xué)生能夠在建構(gòu)知識(shí)和求解的過(guò)程中，逐步領(lǐng)悟和接受“分類(lèi)討論思想”，也理解“分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不得重復(fù)或遺漏”的重要性。

（二）理論推導(dǎo)，引領(lǐng)分類(lèi)討論原理

在理論推導(dǎo)中滲透的分類(lèi)討論思想，可以讓學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)性質(zhì)、公理的基礎(chǔ)上，自主討論數(shù)學(xué)原理，掌握法則、定理、公式的推導(dǎo)方法，形成良好的思維品質(zhì)。教師要順應(yīng)學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律，逐步滲透分類(lèi)討論思想，揭示數(shù)學(xué)性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度進(jìn)行分類(lèi)討論，從而構(gòu)建有益于學(xué)生思維發(fā)展和學(xué)習(xí)進(jìn)步的高效數(shù)學(xué)課堂， 為分類(lèi)討論思想的滲透提供不同切入點(diǎn)。

例如，在講解華師大版初中數(shù)學(xué)“圓的認(rèn)識(shí)”的過(guò)程中，首先，教師可以利用學(xué)生熟悉的正比例函數(shù)圖形性質(zhì)等問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生分類(lèi)進(jìn)行討論，使之能夠明白分類(lèi)討論思想的應(yīng)用不僅僅局限于特定領(lǐng)域。然后，引申出圓周角定理“一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半”，讓學(xué)生結(jié)合自己先前對(duì)正比例函數(shù)圖形性質(zhì)等問(wèn)題進(jìn)行思考，分類(lèi)討論“根據(jù)圓心相對(duì)于圓周角的位置，分三類(lèi)情況進(jìn)行推導(dǎo)”的意義，由此激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)探究的熱情。在學(xué)生自主推導(dǎo)的過(guò)程中，教師可以利用多媒體直觀(guān)為其提供與上述問(wèn)題相關(guān)的三種圖形，讓學(xué)生自主畫(huà)圖測(cè)量、分類(lèi)討論問(wèn)題，使之能夠經(jīng)歷由一般到特殊、從特殊到一般的思維過(guò)程，體會(huì)分類(lèi)證明的目的和優(yōu)點(diǎn)，深入理解圓周角定理。最后，教師要總結(jié)學(xué)生的推導(dǎo)過(guò)程，將分類(lèi)的依據(jù)視為解題的附加條件，引導(dǎo)學(xué)生先思考圓心相對(duì)于圓周角的不同位置，再根據(jù)不同位置推導(dǎo)“一般情況”，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)弦切角定理，提高學(xué)生的分類(lèi)討論意識(shí)，使之能夠體會(huì)分類(lèi)討論原理的重要性。

（三）單元復(fù)習(xí)，提煉分類(lèi)討論思想

單元復(fù)習(xí)內(nèi)容較多，以分類(lèi)討論的方式解決實(shí)際問(wèn)題，可以促進(jìn)復(fù)習(xí)效率提升，有助于學(xué)生提煉分類(lèi)討論思想，在反思學(xué)習(xí)過(guò)程時(shí)，逐步梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成優(yōu)秀的數(shù)學(xué)思維，養(yǎng)成正確的復(fù)習(xí)習(xí)慣。教師要著眼于學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)體系構(gòu)建，引導(dǎo)學(xué)生分析所學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想方法，將教材單元小結(jié)變?yōu)椤爸R(shí)+分類(lèi)討論思想”形式的內(nèi)容，揭示單元數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)規(guī)律，幫助學(xué)生加以提煉和概括，使之真正掌握分類(lèi)討論思想的方法。

例如，在講解華師大版初中數(shù)學(xué)“解一元一次不等式”的過(guò)程中，首先，教師要引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)一元一次不等式的有關(guān)概念，展示一元一次不等式的一般解法，為學(xué)生提供不同習(xí)題讓學(xué)生自行求解，并用數(shù)軸表示一元一次不等式的解集。讓學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，解決相對(duì)簡(jiǎn)單的一元一次不等式問(wèn)題，在畫(huà)數(shù)軸的過(guò)程中，培養(yǎng)其優(yōu)秀的數(shù)形結(jié)合思想。然后，教師要運(yùn)用類(lèi)比法引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題“當(dāng)[x]為何值時(shí)，代數(shù)式[x+4]/3與[3x+1]/2的值的差大于1”，使學(xué)生通過(guò)復(fù)習(xí)單元知識(shí)，懂得解一元一次不等式就是將不等式變形為[“x﹥?chǔ)粒▁≥α）]、

[x﹤α（x≤α）”]的過(guò)程。最后，教師要引導(dǎo)學(xué)生思考一元一次不等式與一元一次方程的聯(lián)系與區(qū)別，在單元復(fù)習(xí)中提煉分類(lèi)討論思想，讓學(xué)生通過(guò)分類(lèi)思考明白解一元一次不等式的依據(jù)，在類(lèi)比解方程的基礎(chǔ)上，深入復(fù)習(xí)解不等式的一般步驟，形成良好的分類(lèi)討論思想，熟練解決一元一次不等式問(wèn)題。在課后作業(yè)中，教師可以布置與單元復(fù)習(xí)相關(guān)的解題作業(yè)，密切圍繞“提煉分類(lèi)思想”，讓學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)行深入探究，鼓勵(lì)全體學(xué)生通過(guò)完成作業(yè)，逐步形成良好的分類(lèi)討論思想，以此加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的印象。

（四）解題教學(xué)，創(chuàng)新分類(lèi)討論方法

“問(wèn)題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就必須要解題?！痹诮忸}教學(xué)中滲透分類(lèi)討論思想，有益于鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使之在探究解題規(guī)律的過(guò)程中，提高創(chuàng)新思維能力。教師要采用一題多解、一提多問(wèn)的方法，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論和思考，以培養(yǎng)他們的探究能力。例如，在講解華師大版初中數(shù)學(xué)“等腰三角形”的過(guò)程中，首先，教師要列舉與等腰三角形可變性相關(guān)的討論問(wèn)題“圖形位置不能確定，該如何求解”，并呈現(xiàn)習(xí)題“已知在等腰三角形△[CAB]中，[∠ACB=90°，AC=BC=1，]點(diǎn)[P]在斜邊[AB]上移動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)[A、B]重合），以P為頂點(diǎn)作[∠CPQ=45°]，射線(xiàn)[PQ]交邊[BC]邊與點(diǎn)[Q]。[△CPQ]能否是等腰三角形”，學(xué)生會(huì)嘗試統(tǒng)一處理，但會(huì)遇到較大困難。此時(shí)，教師采取一題多問(wèn)的方式，提出問(wèn)題“如果[△CPQ]是等腰三角形，試求出[AP]的長(zhǎng)，如果不能，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由”并引導(dǎo)學(xué)生分類(lèi)討論，幫助其正確求解，使之能夠舉一反三。又如，在講解華師大版初中數(shù)學(xué)“二次根式”的過(guò)程中，教師為學(xué)生呈現(xiàn)一道化簡(jiǎn)習(xí)題

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，讓學(xué)生在“由數(shù)量大小不確定”引起的討論中，回憶二次根式性質(zhì)

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，在分類(lèi)討論中化一般為特殊，變抽象為具體，將原式化簡(jiǎn)

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，討論多種解題情況，得到

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、無(wú)解([x]﹤1）”三種結(jié)論，不斷提高學(xué)生舉一反三的能力，實(shí)現(xiàn)觸類(lèi)旁通，在應(yīng)用分類(lèi)討論思想的過(guò)程中，有清晰的解題思路，繼而提高解題效率與正確率。

分類(lèi)討論思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思維方式，能夠促進(jìn)初中生的思維能力提升和素質(zhì)發(fā)展。教師應(yīng)該深刻認(rèn)識(shí)到分類(lèi)討論思想對(duì)于學(xué)生未來(lái)創(chuàng)新發(fā)展的積極影響，并在確定教學(xué)目標(biāo)和選擇教學(xué)方法時(shí)，著重培養(yǎng)學(xué)生的分類(lèi)討論思想意識(shí)。同時(shí)，在結(jié)合初中生學(xué)習(xí)特點(diǎn)和身心發(fā)展規(guī)律的基礎(chǔ)上，采用靈活多樣且有效的教學(xué)方法進(jìn)行授課，始終堅(jiān)持循序漸進(jìn)的原則，激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考的意識(shí)，使其能夠掌握數(shù)學(xué)中的分類(lèi)討論思想，以此培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和探索精神。

作者單位   甘肅省天水市秦州區(qū)華歧中學(xué)

責(zé)任編輯：張言