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作為一名鄉(xiāng)村教育工作者，筆者通過(guò)一堂關(guān)于《等比數(shù)列的概念》公開(kāi)課，領(lǐng)悟到了一些踐行教育家精神、做幸福教師的深刻體會(huì)。

一、教學(xué)過(guò)程

師：前面學(xué)習(xí)了等差數(shù)列，現(xiàn)給出如下數(shù)列，我們觀察其特征。

1.兩河流域發(fā)掘的古巴比倫時(shí)期的泥板上記錄了下面數(shù)列：（轉(zhuǎn)化為“十進(jìn)制”后）

2.《莊子·天下》中“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”……

3.在營(yíng)養(yǎng)和生存空間沒(méi)有限制的情況下……

生1：①②③為遞增的有窮數(shù)列，④⑤分別為遞減與遞增的無(wú)窮數(shù)列。（好像沒(méi)有達(dá)到老師預(yù)期的效果）

師：大家類(lèi)比等差數(shù)列定義，從運(yùn)算的角度去觀察。

生2：每一項(xiàng)除前一項(xiàng)都是常數(shù)。

師：同學(xué)回答的對(duì)嗎？類(lèi)比等差中的“差”，還可以怎樣表述？

大多數(shù)學(xué)生：對(duì)！還可以用“比”表述。

師：大家看是同一個(gè)常數(shù)嗎？

生3：只能對(duì)某一個(gè)確定的數(shù)列，例如，對(duì)于①都是“9”，②都是“100”，③都是“5”，④都是“1/2”，⑤都是“2”。

此時(shí)，教師已成功導(dǎo)出“等比數(shù)列”的特征。

師：大家還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？（應(yīng)該是看到教室還有同學(xué)躍躍欲試或者公開(kāi)課的緣故）

生4：常數(shù)都是數(shù)列的“首項(xiàng)”。

生5：常數(shù)都是“正數(shù)”。

……

此刻，原本沉寂的課堂沸騰了。大家都將目光聚焦到剛才回答問(wèn)題的兩位同學(xué)身上，會(huì)不會(huì)是兩個(gè)“搗蛋鬼”有意而為之。由此，引發(fā)了我的思考：平時(shí)沉寂的課堂怎么今天這么活躍？是公開(kāi)課的原因嗎？還是這些“搗蛋鬼”想借機(jī)表現(xiàn)呢？我感覺(jué)應(yīng)該是平日的課堂，教師不會(huì)設(shè)置這么多的問(wèn)題，也可能會(huì)考慮到學(xué)生的思維程度。恰恰是這樣，致使我們的課堂過(guò)于沉寂，學(xué)生疲于應(yīng)付，出現(xiàn)上課睡覺(jué)等現(xiàn)象，久而久之，學(xué)生失去自信，教師缺乏上課幸福感。

其實(shí)，也正是這樣的一次看似不盡如人意的回答，竟然將課堂探究推向了高潮，大家也都紛紛議論起來(lái)了。經(jīng)過(guò)討論發(fā)現(xiàn)，教材中還有一個(gè)“復(fù)利”情境，給出的是數(shù)列⑥，我們注意到該數(shù)列的特征，常數(shù)顯然不是首項(xiàng)?？梢?jiàn)生4的發(fā)現(xiàn)局限了，那么生5的發(fā)現(xiàn)依然正確。遺憾的是，教師當(dāng)即未對(duì)這兩個(gè)同學(xué)的回答進(jìn)行反饋，錯(cuò)失了一次數(shù)學(xué)建構(gòu)的良好機(jī)會(huì)，讓他們逐漸失去了學(xué)習(xí)的興趣和主動(dòng)性，究其原因是教師選例不慎、處理不當(dāng)所造成的。

師：大家發(fā)現(xiàn)是同一個(gè)常數(shù)就好了，也不一定都是正數(shù)，都是首項(xiàng)。（繼續(xù)進(jìn)行教學(xué)任務(wù)……）

師：板演等比數(shù)列的概念，強(qiáng)調(diào)：1、…2、…3、…

師：等比中項(xiàng)的概念，注意：1、…2、…

師：課堂練習(xí)，旨在考查兩個(gè)概念。

在此過(guò)程中，學(xué)生活動(dòng)幾乎沒(méi)有，可能是因?yàn)榍懊婊?dòng)多，擔(dān)心教學(xué)任務(wù)上不完。

師：PPT呈現(xiàn)例題。已知等比數(shù)列的任意兩項(xiàng)，可以確定該數(shù)列嗎？大家先獨(dú)立思考，然后進(jìn)行演練。

教師巡查后，指定一位學(xué)生分享做法。（有意而為）

生6：基本量的計(jì)算。

       師：板演詳細(xì)過(guò)程。指出涉及指數(shù)式運(yùn)算，大家注意根的取舍，倡導(dǎo)這是最常規(guī)的。

師：除此常規(guī)方法之外，大家還有其他做法嗎？請(qǐng)分享。

師：非常好，該同學(xué)是借助于“等比中項(xiàng)”完成的。

教師話音剛落，該生主動(dòng)站起來(lái)。

生7：老師，我就用定義，沒(méi)太注意“等比中項(xiàng)”。

師：明顯就是借助于“等比中項(xiàng)”。

學(xué)生無(wú)語(yǔ)，尤其生7。

師：布置作業(yè)、小結(jié)、下課。

二、課后反思

筆者在想，可能是由于學(xué)生基礎(chǔ)不好，沒(méi)有抓住教師問(wèn)題的本質(zhì)，而是停留在表面，導(dǎo)致課堂中“意外”不斷。不可否認(rèn)，學(xué)生的發(fā)現(xiàn)是正確的，是值得提倡的，不能刻意回避。至于課堂中，教師對(duì)教材的處理、課堂的把控等這里不做贅述，只就教材中商榷之處與同仁們交流、切磋。

1.情境設(shè)置

（1）“兩河流域古巴比倫時(shí)期……”出現(xiàn)的①②③三個(gè)數(shù)列有重復(fù)之嫌，用一個(gè)即能說(shuō)明問(wèn)題。另外，前后不連續(xù)，同一情境可以繼續(xù)采用第1節(jié)《數(shù)列的概念》中的數(shù)列2，只需提出數(shù)列的前5項(xiàng)（前5天的月亮可見(jiàn)部分）即：5，10，20，40，80。既能將生4的“意外”徹底解決了，更能彰顯教材使用情境的連貫性。

（2）“《莊子·天下》中……”彰顯數(shù)學(xué)文化，自然很好。想必該情境有不少教師早在必修一《指數(shù)函數(shù)概念》教學(xué)中用到了（人教版教材確實(shí)是第一次采用該情境）。既然要用，我們可以將第一天看作為“1”，從第一天后依次構(gòu)成數(shù)列

這樣該數(shù)列的首項(xiàng)就是“1”，同樣避免了生4的“意外”。

（3）不再創(chuàng)設(shè)情境，直接用第一節(jié)《數(shù)列的概念》中的數(shù)列3，即：

既可避免生5的“意外”，也能體現(xiàn)教材的前呼后應(yīng)。

2.例題處理

（1）生7的一句“沒(méi)注意”，又是一次課堂“意外”，足以讓我們感到前面在等比數(shù)列概念給出后直接給出“等比中項(xiàng)”至少生7沒(méi)有掌握，是不是還有更多學(xué)生沒(méi)有掌握呢？筆者覺(jué)得，教材在等比數(shù)列概念之后急著給出“等比中項(xiàng)”有點(diǎn)突然，學(xué)生被動(dòng)接受。我們?yōu)楹尾辉诶?的解法二中（生7的解法）“開(kāi)花”，介紹“等比中項(xiàng)”，順勢(shì)而為，一舉兩得。

（2）筆者接著研究，該題還有解法三：先得q,無(wú)需a1, 依然用定義

也可求解。最主要的是借助于“類(lèi)比”思想發(fā)現(xiàn)：

這正是教材例2題，這樣的設(shè)計(jì)豈不是為下節(jié)的“啟后”埋下伏筆。

其實(shí)，筆者之所以對(duì)例1有這樣的興趣，除了生7的“意外”啟示，更重要的還是人教版教材慣用的“手段”。例如，等差數(shù)列中：

都是通過(guò)例題、習(xí)題呈現(xiàn)，這樣更加關(guān)注學(xué)生的參與，知識(shí)的生成。

本節(jié)課經(jīng)過(guò)反復(fù)打磨，曾作為“陜西省城鄉(xiāng)共同體——名師引領(lǐng)行動(dòng)”安康石泉縣執(zhí)教的示范課，課堂上精彩紛呈、配合密切、效果突出。其實(shí)，課堂教學(xué)不能簡(jiǎn)單靠教師的直白和學(xué)生的滿堂應(yīng)和來(lái)實(shí)現(xiàn)。我們應(yīng)該講本質(zhì)、講聯(lián)系、講發(fā)展，有碰撞、有雄辯、有升華，從整體上把握數(shù)學(xué)的真諦和精髓，把數(shù)學(xué)思維、思想、方法有機(jī)融合起來(lái)，營(yíng)造獨(dú)立思考、自主探究、善于表達(dá)的良好氛圍，激發(fā)學(xué)生的探索欲、求知欲、表達(dá)欲，同時(shí)提升教師的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)，增強(qiáng)教師職業(yè)幸福感。

20多年來(lái)，面對(duì)稚嫩的鄉(xiāng)村學(xué)子，這種幸福感不僅僅是一堂課體會(huì)到的，它更彌漫在鄉(xiāng)村學(xué)校的角角落落，滲透在鄉(xiāng)村教學(xué)的時(shí)時(shí)刻刻，涵蓄在教育教學(xué)的枝枝節(jié)節(jié)。當(dāng)我身披星光，走進(jìn)宿舍，確認(rèn)他們熟睡之際；當(dāng)我推開(kāi)門(mén)窗，走進(jìn)教室，聽(tīng)到瑯瑯的讀書(shū)聲時(shí)；當(dāng)我走上講臺(tái)，掃視全班，目光觸碰渴望的眼神時(shí)，這一刻，我品嘗到一種幸福的味道。這種幸福的味道，品嘗過(guò)你就一定不會(huì)后悔你的選擇，品嘗過(guò)你就一定不會(huì)遺忘這種感覺(jué)?？粗⒆觽儚你露疅o(wú)知到從容自信，從甘心“躺平”到悄悄“內(nèi)卷”，這又何嘗不是一種幸福呢？

待到山花爛漫時(shí)，共看繁花似錦開(kāi)。在鄉(xiāng)村教育的田野上，我將牢記使命，立足崗位，植根沃土，忠誠(chéng)履職，甘于奉獻(xiàn)，心系農(nóng)家子弟，爭(zhēng)做厚德之師、博學(xué)之師、仁愛(ài)之師、創(chuàng)新之師，以弘揚(yáng)踐行教育家精神行動(dòng)年為契機(jī)，用心、用情為鄉(xiāng)村孩子創(chuàng)造公平而有質(zhì)量的教育環(huán)境。

作者單位  陜西省乾縣楊漢中學(xué)