數(shù)形結(jié)合思想是整個(gè)數(shù)學(xué)界經(jīng)典的，也是非常重要的教學(xué)思想方法之一。目前，很多從事教育的人在不同學(xué)段開展了大量研究，但大部分研究者把研究對(duì)象確定在中高年級(jí)段，因?yàn)檫@部分學(xué)生知識(shí)儲(chǔ)備相對(duì)較大，思維能力發(fā)展相對(duì)成熟，所以更容易接受數(shù)形結(jié)合思想。而小學(xué)低段學(xué)生受“已有知識(shí)”匱乏、思維能力發(fā)展緩慢、動(dòng)手操作能力不強(qiáng)等因素影響，在具體研究中相對(duì)比較困難。因此，教師要積極培養(yǎng)小學(xué)低段學(xué)生的思維方式和解決問題的能力。著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！边@就充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的重要性。

數(shù)與形是數(shù)學(xué)教學(xué)中最基本的兩個(gè)概念，數(shù)在古代表示計(jì)數(shù)，現(xiàn)在表示數(shù)量；形在古代表示形狀，現(xiàn)在表示空間概念，二者之間相互依存相互轉(zhuǎn)化。把數(shù)或數(shù)量關(guān)系對(duì)應(yīng)起來，借助圖形研究數(shù)量關(guān)系或利用數(shù)量關(guān)系研究圖形的性質(zhì)，是一種常用的數(shù)學(xué)方法。具體操作過程就是通過數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，讓學(xué)生通過以數(shù)解形、以形找數(shù)、形數(shù)互變的方式提高解決問題的能力。所以說，數(shù)形結(jié)合思維就是將抽象的數(shù)字語言與直觀的圖像結(jié)合起來，其關(guān)鍵是讓代數(shù)問題與圖形問題能夠相互轉(zhuǎn)化，使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。換言之，就是把數(shù)字中的數(shù)和數(shù)學(xué)中的形結(jié)合起來，用以解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想。

一、以數(shù)解形，化繁為簡

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中指出：“學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)是一個(gè)主動(dòng)的過程，認(rèn)真聽講、獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流等是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式?！庇行?shù)量比較抽象，學(xué)生難以掌握、理解，而形具有形象直觀的特點(diǎn)，教師可以把數(shù)對(duì)應(yīng)的形找出來，讓學(xué)生利用圖形解決問題，從問題情境中辨認(rèn)符合問題目標(biāo)的某個(gè)“模式”，這種模式是數(shù)與形的一種特定關(guān)系或結(jié)構(gòu)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中要求教育者為學(xué)生建立知識(shí)模型結(jié)構(gòu)，即“建模”，這樣學(xué)生就能夠用一種方式方法解決同一屬性的問題。如把數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，讓學(xué)生通過圖形分析、推理找到最終解決問題的方法，這就是圖形分析法。小學(xué)一年級(jí)剛?cè)雽W(xué)的學(xué)生，大部分都能數(shù)百以內(nèi)的數(shù)，那么教材為什么還要安排大量時(shí)間讓學(xué)生認(rèn)識(shí)1-10呢？因?yàn)閷W(xué)生是順口溜式地?cái)?shù)數(shù)，不能將具體實(shí)物的數(shù)量和正確的數(shù)對(duì)應(yīng)起來。例如，一面紅旗、一個(gè)學(xué)生、一支鉛筆、一位老師、一所學(xué)校、一筐蘋果、一堆沙子、一群小雞……就用數(shù)字“1”表示，學(xué)生就會(huì)明白數(shù)字1表示一個(gè)抽象物體或一堆抽象物體；學(xué)習(xí)數(shù)字2、3后，學(xué)生的腦海中就有了一個(gè)簡單的數(shù)字模式：幾個(gè)物體或幾堆物體可以用數(shù)字幾表示。又如，在教學(xué)人教版二年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)“平均分”中的“等分”時(shí)，筆者讓學(xué)生通過平均分實(shí)物、說平均分、圈畫平均分把“數(shù)”轉(zhuǎn)化成具體的“形”。如把18個(gè)橘子平均分成6份，每份有幾個(gè)？教材用靜態(tài)圖形展現(xiàn)了平均分，這非常好，但由于學(xué)生年齡小，不能很好地理解，如果有動(dòng)態(tài)操作過程就好了?！澳阒v我聽了，過會(huì)兒我就忘了；你說我看了，我一下就知道了；你示范我操作了，我就深刻理解了”“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”等充分體現(xiàn)了實(shí)踐能力培養(yǎng)的重要性。筆者先利用橘子實(shí)物幫助學(xué)生建立感性認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生知道平均分就是按一定順序、相同數(shù)量、有次序地分給每個(gè)人，分完一輪后再有次序地分，直至分完且每個(gè)學(xué)生手中橘子是一樣多；再讓學(xué)生在小組內(nèi)討論分橘子的方法，并畫一畫：“18個(gè)橘子”用18個(gè)圓形表示，“平均分成6份”就用6個(gè)方框表示，有序地將這18個(gè)橘子平均分成6份，學(xué)生也可以選擇自己喜歡的圖形，只要能體現(xiàn)平均分的意義即可。這樣學(xué)生通過具體操作（分一分、說一說），再借助“形”畫一畫就很好地理解了平均分。在隨后完成“課后題1：把10盒牛奶平均分成2份，每份幾盒？課后題2：把9個(gè)笑臉平均貼在3條線上，每條線上應(yīng)該貼幾個(gè)”時(shí)，學(xué)生很快就掌握了平均分的含義和平均分的方法。

二、以形找數(shù)，淺顯易懂

雖然形具有形象直觀的特點(diǎn)，但在定量方面還需借助代數(shù)計(jì)算，小學(xué)數(shù)學(xué)算理教學(xué)非常抽象，如果教師能用圖形直觀地描述數(shù)的運(yùn)算意義，將會(huì)促進(jìn)學(xué)生的理解。在教學(xué)人教版三年級(jí)上冊(cè)《被減數(shù)中間有0的退位減法》一課時(shí)，筆者先讓學(xué)生回憶減法筆算方法，出現(xiàn)問題時(shí)可以借助擺小棒、拆分小棒的方法解決，再通過動(dòng)畫演示分小棒的過程，幫助學(xué)生理解算理，突破難點(diǎn)。如計(jì)算203－58時(shí)，首先讓學(xué)生明白減法要從個(gè)位算起，哪位不夠減就從前一位退1后在本位加10再減。這里個(gè)位3減8不夠減，而前一位是0沒有辦法退1，此時(shí)學(xué)生就會(huì)疑惑：為什么十位是0，退位后反而是9呢？筆者費(fèi)盡口舌，學(xué)生疑慮重重，但學(xué)生知道203是2個(gè)百和3個(gè)1組成的，58是5個(gè)10和8個(gè)1組成的，于是就用2大捆小棒和3根小棒表示203，用5小捆小棒和8根小棒表示58。從3根小棒中去掉8根是不夠的，1大捆小棒打開就是10捆小棒，1捆小棒打開就是10個(gè)1，現(xiàn)在擺在學(xué)生面前是1大捆小棒、9捆小棒和13根小棒，再來對(duì)照203－58的筆算，接受力較強(qiáng)的學(xué)生很快就理解了“為什么十位是0而退位后反而是9。”接下來，筆者又用動(dòng)畫為學(xué)生演示了拆分小棒過程，讓學(xué)生在觀看中思考自己的操作，這樣人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上也能得到不同的發(fā)展。

小學(xué)生由于理解和認(rèn)知能力有限，僅從文字?jǐn)⑹龇矫嫠伎加幸欢ɡщy，而畫圖的方式能幫助學(xué)生更加直觀地理解題意，從而找到解決問題的方法。例如，人教版二年級(jí)上冊(cè)《乘法解決問題》一課有這樣一道習(xí)題：“小明上一層樓用7秒鐘，他從一樓上到六樓需要幾秒鐘？”題中已知條件比較少，大部分學(xué)生很難從字面找到關(guān)系，如果畫圖表示學(xué)生一看就明白了小明從一樓上到六樓只用了5個(gè)7秒鐘。又如，把一根木頭鋸成5段，每鋸一次要5秒鐘，一共需要幾秒鐘？現(xiàn)在的學(xué)生很少有這樣的生活體驗(yàn)，他們不知道鋸木頭是怎么回事，筆者用語言為學(xué)生再現(xiàn)了鋸木頭的情形，從學(xué)生的眼神中可以看出他們一知半解，于是筆者拿出一根木棍和一把鋸子，讓兩名學(xué)生現(xiàn)場(chǎng)操作，筆者還將鋸木頭的過程畫了下來。學(xué)生回憶著鋸木頭的情景，看著筆者的范畫，就從數(shù)中想到了形，由形找到了解題方法。

由此可見，教師在教學(xué)過程中如果能引導(dǎo)學(xué)生用圖形表示題目中的數(shù)量關(guān)系，就可以幫助學(xué)生從復(fù)雜問題中找到知識(shí)間的聯(lián)系，從而凸顯數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征。特別是對(duì)于較復(fù)雜的圖形，學(xué)生不僅要正確地將圖形數(shù)字化，還要留心觀察圖形的特點(diǎn)，發(fā)掘題目中的隱含條件，充分利用圖形的性質(zhì)或幾何定義，將形正確表示為數(shù)后再分析計(jì)算。例如，人教版二年級(jí)上冊(cè)《數(shù)線段》一課有這樣一道習(xí)題：“圖中 　　　 有（ ）條線段？”學(xué)生已經(jīng)掌握了什么是線段，但要準(zhǔn)確數(shù)出有幾條線段，對(duì)于條理不是特別清楚的小學(xué)二年級(jí)學(xué)生來說有一定難度。因此，筆者引導(dǎo)學(xué)生用字母先標(biāo)出端點(diǎn)，然后依次畫并數(shù)出線段的數(shù)量，最后算一算一共有幾條線段。部分推理思維能力強(qiáng)的學(xué)生在找規(guī)律，建立初步的模型結(jié)構(gòu)，大部分學(xué)生在實(shí)踐中積累經(jīng)驗(yàn)，慢慢由量變到質(zhì)變，最終找到了解決此類題型的模型結(jié)構(gòu)。后來在學(xué)習(xí)“角”的知識(shí)時(shí)，也有數(shù)角的個(gè)數(shù)這類習(xí)題，很多學(xué)生就把數(shù)線段的方法遷移到了這里。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的選擇要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有助于學(xué)生理解、掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，形成數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展核心素養(yǎng)。

三、形數(shù)互變，相輔相成

在有些數(shù)學(xué)問題中不僅僅是簡單地以數(shù)化形或以形變數(shù)，而是需要數(shù)形互變——由形的直觀變?yōu)閿?shù)的嚴(yán)密，還要由數(shù)的嚴(yán)密聯(lián)系到形的直觀。

平面幾何圖形的拼擺，多數(shù)就需要通過形的直觀、數(shù)的嚴(yán)密計(jì)算，使其中蘊(yùn)藏的思想方法或抽象知識(shí)具體化。例如，長方形和正方形的周長一課有這樣一道習(xí)題：“用4個(gè)邊長為2厘米的正方形拼成一個(gè)長方形或正方形，周長最大是多少？最小是多少？”有學(xué)生在練習(xí)本上畫了起來，有學(xué)生在找橡皮合作拼圖……很快有了以下兩種結(jié)果：（8+2）×2=20cm、（2+2）×4=16cm。學(xué)生在畫圖、拼圖的過程中，充分利用了形的直觀，使抽象的數(shù)在直觀圖形中更加具體、形象，也就是把復(fù)雜變?yōu)楹唵?、化深?yuàn)W為淺顯。學(xué)生在觀察、操作、分析、抽象、概括的過程中找到了數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)含的思想方法。

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要深挖教材，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生在主動(dòng)建構(gòu)、自主探索的過程中養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，從而喜歡數(shù)學(xué)，樂于學(xué)習(xí)。

作者單位  陜西省安康市旬陽市城關(guān)小學(xué)

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